6.2.2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线、直线与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)
2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)
3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)
1.通过空间直线平行的传递性及等角定理的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.
1．基本性质4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述：?a∥c.
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
3．直线与平面的平行
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
4.直线与平面平行的判定及性质
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]
2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )
A．a?α，b?α，a∥b
B．b?α，a∥b
C．b?α，c?α，a∥b，a∥c
D．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
A [由直线与平面平行的判定定理知选A.]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
基本性质4、等角定理的应用
【例1】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[思路探究] (1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．
[证明] (1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
1．空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
三是利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
1.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
[证明] (1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
直线与平面的位置关系
【例2】 下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．]
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
2．下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 B．1
C．2 D．3
C [易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]
直线与平面平行的判定与性质
[探究问题]
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？
[提示] 平行．
2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示] 不是．
3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．
【例3】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
[思路探究] 应用线面平行的性质定理．
[解] 因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，
知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
1．若本例条件不变，求证：＝.
[解] 由例题解知：PQ∥AB，
∴＝.
又QM∥DC，
∴＝，
∴＝.
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．
[解] 由例题解知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形．
又BP∶PD＝1∶1，
∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行．
1．本节课的重点是会判断两直线的位置关系及等角定理，直线与平面平行的判定与性质．难点是运用直线与平面平行判定定理与性质定理证明有关问题．
2．本节课要掌握的规律方法
(1)基本性质4及等角定理．
(2)判断直线与平面的位置关系．
(3)判断与证明直线与平面平行．
3．本节课的易错点是运用直线与平面平行的判断与性质进行证明时条件罗列不全面致错.
1．思考辨析
(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( )
(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.( )
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )
[解析] (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．
(3)错误．直线l也可能与平面α相交．
(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A [∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
135° [由等角定理可知β＝135°.]
4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
[解] 已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，
∵a∥b，b?β，
∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，
∴a∥l，
又a∥b，
∴a∥b∥l.
课件44张PPT。第六章 立体几何初步6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线、直线与平面平行234互相平行传递性a∥c对应平行相同相等56a∥α有无数个有且只有一个没有a?αa∩α＝A78910111213基本性质4、等角定理的应用1415161718192021直线与平面的位置关系2223242526直线与平面平行的判定与性质2728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 平面与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(重点)
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)
1.通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象核心素养.
1．两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
思考：如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
[提示] 如果两个平面有一个公共点，那么由基本性质3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
2．平面与平面平行的判定与性质
(1)平面与平面平行的判定
①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
②符号语言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.
③图形语言：如图所示．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(2)平面与平面平行的性质定理
①文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
③图形语言：如图所示．
④作用：证明两直线平行．
(3)三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
A [由面面平行的性质定理可知选项A正确．]
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中．与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
A [根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]
3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
平行 [由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.]
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
①② [对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]
平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
③④ [①错．a与b也可能异面；
②错．a与b也可能平行；
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a?α，b?β，
∴a与b无公共点；
④对．由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错．a与β也可能平行．]
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C [如图所示，由图可知C正确．
]
平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[解] (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
判定面面平行的常用方法
?1?定义法：两个平面没有公共点；
?2?判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
?3?转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
?4?利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.
面面平行的性质定理的应用
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.
[提示] 连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【例3】 如图，已知平面α∥β，P?α，且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.
[思路探究] 面面平行?线线平行?分线段比例相等．
[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.]
1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
2．将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.
已知AB＝6，＝，求AC.
[解] 由题图可知＝?AC＝·AB＝×6＝15.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)能够判断空间两个平面的位置关系．
(2)平面与平面平行的判定定理．
(3)平面与平面平行的性质定理．
3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误.
1．思考辨析
(1)没有公共点的两平面平行．( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )
[解析] (1)由平面与平面平行的定义知正确．
(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．
(3)两平面可能相交．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，a?α，b?β，则a与b一定相交
B．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
D [A错误，a与b可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
CD∥α [因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.]
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
[证明] ∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，
∴EF∥AB，又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
课件45张PPT。第六章 立体几何初步6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.2 空间中的平行关系
第2课时 平面与平面平行234无数个点(共线)α∥β0个α∩β＝l56a∩b＝P相交7两条相交8β∩γ＝b平行9成比例平行101112131415平面与平面间的位置关系16171819平面与平面平行的判定202122232425面面平行的性质定理的应用26272829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十九) 平行直线、直线与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
D [直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线均无公共点．]
2．下列说法正确的是( )
A．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α
D [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，
故选项A不正确；
AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，
故选项B不正确；
AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，
但AA′与A′D′相交，
所以选项C不正确；
选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，
所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即选项D正确．故选D.]
3．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b?α，a∥b
D [由线面平行的判定定理可知，D正确．]
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B [如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
B [易知GH∥MN，又∵E、F、M、N分别为所在棱的中点，由平面基本性质3可知EF、DC、MN交于一点，故选B.]
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
[答案] 平行或相交
7．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
平行 [连接A1C1(图略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥面A1B1C1D1，
又∵AC?面AB1C，面AB1C∩面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.]
8．如图，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝__________.
[连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以＝.
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以＝＝，所以＝.]
三、解答题
9．如图所示，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥EF.
[证明] ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，
又GH?平面BCD，
EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.
而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
10．一块长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
[解] 在平面A1B1C1D1内，经过点P作EF∥B1C1，且交A1B1于E，交D1C1于F；连接BE、CF，则BE、CF即为平面与长方体侧面的交线，可知，要满足题意，只要沿BE、EF、FC画线即可．如图所示．
[等级过关练]
1．已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
C [过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则a′，b′确定平面α，当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a?α或b?α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．]
2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
D [如图①②所示，OB，O1B1不一定平行．]
① ②
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
1 [如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]
4．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
平行或相交或b在α内 [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b?α(其中E，F为棱的中点)．]
5.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
[解] (1)证明：因为BC∥AD，
BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.
课时分层作业(四十) 平面与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.]
2．平面α与平面β平行，且a?α，下列四种说法中
①a与β内的所有直线都平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′?平面A′B′C′D′，AB?平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．]
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
C [可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．]
4．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
A [把这三条线段放在正方体内如图，
显然AC∥EF，AC?平面EFG.
EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.]
5．以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
D [对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的共顶点的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.]
二、填空题
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．
平行或相交 [三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．]
7．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；
④?α∥β；⑤?a∥α；⑥?a∥α，
其中正确的命题是________．(填序号)
①④ [①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a?α；⑥也是忽略了a?α的情形．]
8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
平行四边形 [由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1C1D1，所以ABCD，从而四边形ABCD为平行四边形．]
三、解答题
9．如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.
[证明] 根据棱台的定义可知，BB1与DD1相交，
所以BD与B1D1共面．
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.
10．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
[证明] 由棱柱性质知，
B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1EDB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D?平面ADC1，
EB?平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则EDB1B.
因为B1BA1A(棱柱的性质)，
所以EDA1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.
A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
[等级过关练]
1．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
D [无论点A，B如何移动，其中点C到α，β的距离始终相等，故点C在到α，β距离相等且与两平面都平行的平面上．]
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A [如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E?平面EGH1，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.]
3．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．
是 [因为侧面AA1B1B是平行四边形，
所以AB∥A1B1，
因为AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，
所以AB∥平面A1B1C1，
同理可证BC∥平面A1B1C1.
又因为AB∩BC＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.]
4.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)
M∈FH [连接FH(图略)，因为平面FHN∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN?平面FHN，所以MN∩平面B1BDD1＝?，所以MN∥平面B1BDD1.]
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
[解] 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF?平面AEF，PQ，PB?平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，PQ，PB?平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ?平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.
