6.2.3 空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点)
3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．(重点)
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．(难点)
1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.
1．直线与直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直的定义
文字语言
图形语言
符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
l⊥α
3.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直
?l⊥α
思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？
[提示] 相交或平行或直线在平面内．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
文字语言
两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面
符号语言
?b⊥α
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
B [正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.]
2．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
A [由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]
3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B [直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边．]
4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m?α，则l，m的位置关系是________．
l⊥m [由题意可知l⊥α，所以l⊥m.]
线面垂直的定义及判定定理的理解
【例1】 下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．]
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
下列说法中错误的个数是( )
①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；
②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；
③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；
④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；
②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．]
线面垂直判定定理的应用
【例2】 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
[思路探究] PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC?直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．
[证明] (1)因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，
所以AE⊥BC.
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.
1．若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
[证明] 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，
因为PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，FH?平面PAC，
所以BD⊥FH.
2．若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
所以DC⊥PA,
又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD，
又AG?平面PAD，
所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，
所以PC⊥平面AFG.
证线面垂直的方法
?1?线线垂直证明线面垂直
①定义法?不常用?；
②判定定理最常用?有时作辅助线?.
?2?平行转化法?利用推论?
①a∥b，a⊥α?b⊥α；,②α∥β，a⊥α?a⊥β.
线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．
1．折痕AD与桌面一定垂直吗？
[提示] 不一定．
2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
[提示] 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
[思路探究] 两直线垂直于同一平面?两直线平行．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，
所以MN∥AD1.
3．本例中条件不变，求证：M是AB中点．
[证明] 连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.
所以ONCDAB，
所以ON∥AM.
又因为由本例可知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中点．
平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点直线与平面垂直关系的判定与证明．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)线面垂直的定义及应用．
(2)线面垂直的判定定理及应用．
(3)线面垂直的性质定理及应用．
3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时易漏掉两条直线相交这一条件．
1．思考辨析
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( )
[解析] 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
C [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]
4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
[证明] 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
课件47张PPT。第六章 立体几何初步6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.3 空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直234直角平移后5l⊥α任意一条6两条相交直线 78a∥b平行9b⊥α 101112131415线面垂直的定义及判定定理的理解1617181920线面垂直判定定理的应用21222324252627282930线面垂直性质定理的应用31323334353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 平面与平面垂直
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解面面垂直的定义．(重点)
2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)
3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)
1.通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．平面与平面垂直的判定
(1)平面与平面垂直
①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
②画法：
记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言
?a⊥β
图形语言
思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？
[提示] 相交或平行．
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
C [因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC，
所以l∥m，故选C.]
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C [当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.]
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
D [∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
平行 [因为α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.]
平面与平面垂直的判定
【例1】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
[证明] 连接AC，BC，
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
证明面面垂直的方法
?1?判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
?2?性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
[证明] ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[思路探究] (1)―→
―→
(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．
[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，
∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.
又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
2.如图所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
垂直关系的综合应用
[探究问题]
1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
[提示] ∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，
∵AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
[提示] 连接CO(略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，∴PD⊥CD，
由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，∴PA⊥CD.
3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[思路探究] (1)证明EN∥DM；
(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；
(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.
[证明] (1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且EN?平面PDC，DM?平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB?平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，
∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
垂直关系的相互转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
提示：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
3.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
[证明] (1)设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因为EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝＝a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.
(2)如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝CE＝DB，
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
由(1)知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
因为EC∩AE＝E，EC?平面AEC，AE?平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM?平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．
(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．
(3)掌握垂直关系的转化．
3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误.
1．思考辨析
(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．( )
(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．( )
(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．( )
[解析] (1)正确．
(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．
(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]
3．下列四个命题中，正确的序号有________．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
①② [③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．]
4．在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.
[证明] 如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
在△ABD中，AB＝a，
BE＝BD＝a，
AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
由于AC2＝AE2＋CE2，
∴AE⊥CE，又BD∩EC＝E，
∴AE⊥平面BCD，又AE?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD.
课件56张PPT。第六章 立体几何初步6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.2 空间中的平行关系
第2课时 平面与平面垂直2345α⊥β 6l?α垂线7垂直a?αa⊥l一个平面内891011121314平面与平面垂直的判定1516171819面面垂直性质定理的应用20212223242526垂直关系的综合应用2728293031323334353637383940414243444546474849505152535455点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四十一) 直线与平面垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
A [根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足判定定理的条件．]
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是 ( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
D [直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．]
3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
C [空间四边形ABCD的四个顶点不共面，
∴AC与BD必为异面直线．
取BD的中点O，连接OA，OC，
由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD，OC⊥BD，
∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故选C.]
4．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
D [正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，
从而BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.]
5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
B [因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
CD⊥AB [∵EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同理，∵EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.]
7．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
4 [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]
8．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
其中正确命题的序号为________．
①③④ [①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正确．]
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
[证明] ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.
10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
[证明] 因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC?底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，
所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.
又因为BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C，BC?平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C.
[等级过关练]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
A [如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]
2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
B [若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]
3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件：
①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.
当满足条件________时，有m⊥β.
②④ [若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.]
4．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)
BD⊥AC [要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1，可从结论A1C⊥B1D1入手，
∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴A1C⊥BD.
又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1?平面A1AC，A1C?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.(此题答案不唯一)．]
5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
[解] (1)由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.
∵AA1∩A1B1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
易知A1B1＝，∵AA1＝，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
课时分层作业(四十二) 平面与平面垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
D [当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
D [A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．]
4.如图所示，平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，下列结论中不正确的是( )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
A [若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，所以PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.]
5.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
D [∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，
∴AC⊥BC.
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．]
二、填空题
6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.
13 [连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴BD⊥α.
∵BC?α，
∴BD⊥BC，
∴△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5.
在Rt△CBD中，CD＝＝13.]
7．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
2 [连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，
可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.]
8．在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，因为四边形ABCD的各边相等，所以AC⊥BD，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC垂直于平面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC)．]
三、解答题
9．如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[证明] ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
[证明] 如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN.
∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，
∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，
∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.
[等级过关练]
1．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
D [选项A缺少了条件l?α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.]
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
D [如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l＝AB∥β.故选D.]
3．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
②④ [因为PA?平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO?平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．]
4．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
3 [因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．]
5.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点．
(1)求证：A1F∥平面ECC1；
(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
[解] (1)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，
所以B1F∥BM且B1F＝BM，
所以四边形B1FMB是平行四边形，
所以FM∥B1B且FM＝B1B.
因为B1B∥A1A且B1B＝A1A，
所以FM∥A1A且FM＝A1A，
所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1F∥AM.
因为E为AD的中点，
所以AE∥MC且AE＝MC.
所以四边形AMCE是平行四边形．
所以CE∥AM，
所以CE∥A1F.
因为A1F?平面ECC1，EC?平面ECC1，
所以A1F∥平面ECC1.
(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.
取CD的中点G，连接BG，如图．
在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，
所以△CDE≌△BCG，
所以∠ECD＝∠GBC.
因为∠CGB＋∠GBC＝90°，
所以∠CGB＋∠DCE＝90°，
所以BG⊥EC.
因为CC1⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
所以CC1⊥BG.
又EC∩CC1＝C，
所以BG⊥平面ECC1.
故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1.
