集合的概念与表示
确定性、互异性是集合中元素的两个特性．这两个特性在解与集合相关的问题中经常用到，一定要正确认识，牢固把握，并加以灵活运用．
在解决集合问题时，首先要从已知条件与所求结论找到解题的切入点，得出结论前，再检验所求集合中的元素是否满足这两个特性，其中元素的互异性往往是检验的依据．
【例1】 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}．
(1)若A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A；
(2)若A中有两个元素，试求实数k的取值范围．
[解] (1)∵集合A中只有一个元素．
∴方程只有一个实数根或有两个相等实数根．
当k＝0时，x＝2，A＝{2}，符合题意．
当k≠0时，Δ＝(－8)2－4×k×16＝0，解得k＝1，
此时，A＝{4}，符合题意．
∴当k＝0时，A＝{2}，当k＝1时，A＝{4}．
(2)∵集合A中有两个元素，∴方程有两个不等实根．
∴Δ＝64－64k＞0，且k≠0，
∴k＜1且k≠0.
∴实数k的取值范围为{k|k＜1且k≠0}．
1．集合中的元素的互异性在解题中的应用
(1)借助于集合中元素的互异性找寻解题的突破口．
(2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性．
2．描述法表示集合的关键
描述法表示集合的关键在于搞清楚集合的类型及元素的特征性质．当特征性质的表示形式相同时，因为代表元素的不同导致集合的含义不相同，所以研究描述法表示的集合时一定要特别关注集合中的代表元素的属性．
1．(1)若m，m，n，n，m2，n2构成集合M，则M中的元素最多有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
(2)若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是________．
(1)C (2)x≠2，且x≠－1，且x≠0 [(1)由集合中的元素满足互异性，知集合M中的元素最多为m，n，m2，n2，且4个元素互不相同．
(2)由元素的互异性可知x≠2，且x2－x≠2，且x2－x≠x，
即]
两个集合的关系
判断集合之间的关系的三种方法：
(1)给出的n个集合都可用列举法表示，且元素个数比较少时，可使用具体化原则将集合中的元素一一列举出来，然后观察集合之间的关系．
(2)根据集合关系的定义来判断，关键是看集合A中的任一元素是否都是集合B中的元素．若集合A中的任一元素都是集合B中的元素，即为A?B，若还满足集合B中至少存在一个元素不在集合A中，则AB.
(3)数形结合，利用数轴或维恩图判断集合之间的关系．
注意：(1)当A?B与AB同时成立时，AB最能准确表示A与B之间的关系．
(2)对于两集合A，B，A?B，不要忽略A＝?的情况．
【例2】 已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}且B?A，求实数a的取值范围．
[思路探究] 首先求出集合A，再结合B?A，利用分类讨论求出a的取值范围．
[解] ∵集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，且B?A，
∴B＝?，或B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}，
若B＝?，则Δ＝a2－24＜0，解得－2
若B＝{2}，B中方程的常数项为4≠6，故不存在满足条件的a值；
若B＝{3}，B中方程的常数项为9≠6，故不存在满足条件的a值；
若B＝{2,3}，则a＝－5，
综上，实数a的取值范围为{a|－21．判断集合与集合之间的关系的基本方法
根据定义归纳为判断元素与集合间的关系，或利用数轴表示、Venn图表示，进行直观地判断．
2．求解集合间的基本关系问题的要点
(1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解．
(2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答．
提醒：两个数集之间不管其代表元素用什么样的字母表示都可以进行交、并、补的运算．
2．若集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}，则必有( )
A．P?Q B．PQ
C．P＝Q D．QP
D [集合P是二次函数y＝x2中x的取值集合，集合Q是二次函数y＝x2的函数值y的取值集合，因此集合P＝R，集合Q＝{y|y≥0}，所以QP.]
集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算．若集合中的元素是离散的，集合的运算一般运用定义或Venn图；若集合中的元素是连续的(如用不等式表示的)，则用数轴法；若集合中含有参数，有时需要对参数进行讨论．
【例3】 已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|1≤x≤6}，C＝{x|m＋1≤x≤2m}．
(1)求A∩B；
(2)若C∩B＝C，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|1≤x≤6}，∴A∩B＝{x|3≤x≤6}．
(2)∵C∩B＝C，∴C?B，当C＝?时，m＋1＞2m，解得m＜1；
当C≠?时，则解得1≤m≤3.
综上所述，m的取值范围是{m|m≤3}．
1．集合间基本运算的方法
(1)求集合的交、并、补是集合间的基本运算，若集合是用列举法给出的，在处理有关交、并、补的运算时经常借助于Venn图来处理．
(2)求解用不等式(组)表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，借助数轴解决与不等式(组)有关的集合的运算时要注意各个端点能否取到．
2．集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法
(1)两种类型：不含字母参数、含有字母参数．
(2)解决方法：①对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出，在数轴上求解即可；②对于含有字母参数的，若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参数分类讨论，再求解不等式(组)，然后在数轴上求解．
3．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
[解] ∵B?(A∪B)，∴x2－1∈(A∪B)．
∴x2－1＝3或x2－1＝5，解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}；
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}.
分类讨论思想在集合中的应用
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴进行帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．
【例4】 设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．
(1)若A∩B＝B，求a的值；
(2)若A∪B＝B, 求a的值．
[思路探究] 本题主要考查集合中的运算．明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义，根据问题的需要．将A∩B＝B和A∪B＝B分别转化为等价的关系式B?A和A?B是解决本题的关键，注意在分析包含关系式B?A时，不要漏掉B＝?的情形．
[解] 首先化简集合A，得A＝{－4,0}．
(1)由于A∩B＝B，则有B?A，可知集合B为空集，或只含元素0或－4，或B＝A.
①若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a＜－1.
②若B＝{0}，则∴a＝－1.
③若B＝{－4}，则∴无解．
④当B＝A时，∴a＝1.
由①②③④，得a＝1或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A?B.
又A＝{－4,0}，而B 至多含有两个元素，因此应有A＝B，故应有a＝1.
常见分类讨论问题的分类标准
问题
分类标准
分类情况
A?B
(1)A是否为?；
(2)A与B是否相等
(1)A＝?；
(2)A≠?；
①A＝B，②AB
方程bx＋c＝0的实根
b是否为0
(1)b＝0时
①若c＝0，则x∈R
②若c≠0，无实根
(2)b≠0时，x＝－
方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数
a是否为0
(1)a＝0时，化为bx＋c＝0的实根问题.
(2)a≠0时，讨论Δ>0，Δ＝0和Δ<0
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)应根据a是否为0分两种情况进行讨论：
①a＝0，此时A＝－，符合题意；
②a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1.
∴a＝0或a＝1.
(2)A中至多只有一个元素，包括两种情形：
①A中只有一个元素，由(1)知a＝0或a＝1；
②A中没有元素，此时应有得a＞1.
∴a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．
课件36张PPT。第一章 集 合章末复习课集合的概念与表示两个集合的关系集合的运算分类讨论思想在集合中的应用点击右图进入…Thank you for watching !章末强化训练(一) 集合
(教师独具)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列对象能构成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
C [著名节目主持人、跑得快的汽车、高楼都没有统一的标准，故不能构成集合；上海市所有的中学生满足集合的定义，故正确．]
2．已知集合A＝{x|－4≤x＜3}，B＝{x|1＜x≤4}，则A∪B＝( )
A．{x|2C．{x|－1B [∵集合A＝{x|－4≤x＜3}，B＝{x|1＜x≤4}，∴A∪B＝{x|－4≤x≤4}．故选B.]
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∴?U(A∪B)＝{3,5}．]
4．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则实数k的值为( )
A．－2 B．±2或－1
C．2或－1 D．－2或－1
B [∵集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，∴集合A只有一个元素，当k＋2＝0，即k＝－2时，方程等价为－4x＋1＝0，解得x＝，满足条件；当k＋2≠0，即k≠－2时，则方程满足Δ＝0，即4k2－4(k＋2)＝0，∴k2－k－2＝0，解得k＝2或k＝－1.综上，k＝±2或－1.]
5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪?RB＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2
C [∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
∴?RB＝{x|x≤1或x≥2}，
∵A∪?RB＝R，∴a≥2，故选C.]
二、填空题
6．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2{－1,2} [在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．]
7．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．
{x|－2≤x<1} [阴影部分表示?U(M∪N)，又因为M∪N＝{x|x<－2或x>2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x<－2或x≥1}，
所以?U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．]
8．已知A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则A＋B中元素的个数为________．
4 [由定义可知A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，又∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，
所以A＋B＝{3,4,5,6}，
故A＋B中元素个数为4.]
三、解答题
9．若A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，B∩A＝{9}，求A∪B.
[解] 因为B∩A＝{9}，所以9∈A，得到x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.
①当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，由集合中元素的互异性，不合题意舍去；
②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}满足题意；
③当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与条件矛盾，舍去．
综上所述，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．
10．已知集合A＝{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}，B＝{x|(x－2)(x－b)＝0(b≠2)}，C＝{x|1＜2x－3＜5}．
(1)若A＝B，求b的值；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
[解] 由题得A＝{a，a－1}，B＝{2，b}，C＝{x|2＜x＜4}．
(1)若a＝2，则A＝{1,2}，
∵A＝B，∴b＝a－1＝1；
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，∴b＝3.
综上，b的值为1或3.
(2)∵C＝{x|2＜x＜4}，且A∪C＝C，
∴A?C，
∴∴a的取值范围为{a|3[等级过关练]
1．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩Z中元素的个数为5.]
2．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A．aA B．a?A
C．{a}?A D．{a}A
D [A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A是包含与否的关系，据此，A、C显然不对．而<，所以a是A的一个元素，{a}是A的一个子集．故选D.]
3．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?UB＝________.
{3} [∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}．]
4．已知集合A＝{x|b－3{b|－2≤b<－1} [因为M＝{x|－4≤x<5}，所以?UM＝{x|x<－4或x≥5}，又A＝{x|b－3则解得－2≤b<－1.
所以b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．]
5．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
(1)因为A∩B＝{2}，所以2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．
综上，a的值为－1或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．
因为A∪B＝A，所以B?A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝?，满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即(矛盾)．
综上，a的取值范围是{a|a≤－3}．
