充分条件、必要条件与充要条件的探究
【例1】 已知p：－2[解] 若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0＜x1＜1,0＜x2＜1，
有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1.
根据根与系数的关系得
即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q?p.
反之，取m＝－，n＝，那么方程变为x2－x＋＝0，
则Δ＝－4×＜0，此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pD/?q.
综上所述，p是q的必要不充分条件．
对于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定，记“若p，则q”为真命题，记为“p?q”，“若p，则q”为假命题，记为“pD/?q”.
提醒：充分条件、必要条件与充要条件的探究，需要从两个方面加以论证，切勿漏掉其中一个方面.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a[解] 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定有a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在(3)中，若a命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定：
(1)若x＝2或x＝－1，则x2－x－2＝0；
(2)若集合B真包含于集合A，则集合A包含于集合B.
[解] (1)命题的否定：若x＝2或x＝－1，则x2－x－2≠0.
(2)命题的否定：若集合B真包含于集合A，则集合A不包含于集合B.
命题的否定的特征
(1)定义
命题的否定一般是直接对命题的结论进行否定．
(2)构成形式
对于“若p，则q”形式的命题，其命题的否定为“若p，则q”．
(3)与原命题的真假关系
命题的否定与原命题的真假性总是相对的，即一真一假．
2．请写出下列命题的否定．
(1)若|x|＋|y|＝0，则x＝y＝0；
(2)若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等．
[解] (1)命题的否定：若|x|＋|y|＝0，则x，y中至少有一个不为0.
(2)命题的否定：若△ABC是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等.
全称命题与存在性命题
【例3】 (1)下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
(2)命题p：“?x∈R，x2＞0”，则( )
A．p是假命题；p：?x∈R，x2＜0
B．p是假命题；￢p：?x∈R，x2≤0
C．p是真命题；￢p：?x∈R，x2＜0
D．p是真命题；￢p：?x∈R，x2≤0
(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称命题；故选C.
(2) 由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称命题的否定为存在性命题可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故选B.]
1．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．
2．要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．
3．要判断一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x使p(x)成立即可，否则这一存在性命题为假命题．
3．(1)下列命题不是存在性命题的是( )
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有的一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
(2)命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
(1)B (2)存在一个能被7整除的数不是奇数 [(1)选项A、C、D中都含有存在量词，故都为存在性命题，选项B中不含存在量词，不是存在性命题．(2)原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]
分类讨论思想的应用
【例4】 已知关于x的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①和②的根都是整数的充要条件．
[解] 当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；
方程②有实数根的充要条件是
Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－.
∴－≤m≤1.
又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，
无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根．
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.解题中要找清讨论的标准.
4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．
－或 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知pD/?q，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.]
课件26张PPT。第二章 常用逻辑用语章末复习课2345充分条件、必要条件与充要条件的探究678910命题的否定111213全称命题与存在性命题141516171819分类讨论思想的应用202122232425点击右图进入…Thank you for watching !章末强化训练(二) 常用逻辑用语
(教师独具)
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y?|x|＝|y|.]
3．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C. >1 D. <－1
A [a＋b<0D/?a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.]
4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [|x－2|<1?15．设集合M＝{x|x＞2}，N＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [x∈M或x∈N即x∈M∪N，因为(M∩N)?(M∪N)，所以“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的必要不充分条件．]
二、填空题
6．设集合A＝{x|0充分不必要 [A＝{x|07．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________.
0 [若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则x＝2是方程x2－2x＋c＝0的根，可得c＝0.]
8．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
所以或解得0≤a≤.]
三、解答题
9．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n等于3或4.
[证明] 必要性．
已知方程有根，所以判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，所以n＝1,2,3,4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3；当n＝4时，方程有整数根2.所以n＝3或4.
充分性．
若n＝3，则方程为x2－4x＋3＝0有整数根1,3；若n＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2.
故当n＝3或4时，方程x2－4x＋n＝0有整数根．
10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] (1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
(2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
[等级过关练]
1．下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：所有质数都是奇数；p：存在一个质数不是奇数
B．p：有些矩形是正方形；p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；p：?x∈R，x2＋x＋2＞0
C [“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．]
2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则使方程有两个大于1的实数根的充要条件是________．
k<－2 [令y＝x2＋(2k－1)x＋k2，由y的图象(图略)可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根等价于解得k<－2.
以上过程的每一步都是等价的，因此，k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．]
