函数的概念
函数有三要素：定义域、值域和对应法则，其中定义域是研究函数问题的前提条件，研究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．
【例1】 (1)如果f＝，则当x≠0时，f(x)＝( )
A. B. C. D.－1
(2)函数y＝＋(2x＋1)0的定义域是________．
(3)设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
(1)B (2) (3)－ [－3，＋∞) [(1)令＝t，则x＝，
代入f＝，
则有f(t)＝＝，所以f(x)＝.
(2)∵函数y＝＋(2x＋1)0，∴
解得x＜，且x≠－，
∴函数的定义域是.
(3)f(2)＝，则f(f(2))＝f＝－.
当x＞1时，f(x)∈(0,1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．]
1．函数定义域的类型及相应的求解方法
(1)函数解析式已知：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要使解析式有意义，还应使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
2．求函数解析式的方法
(1)直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式时，只需要用g(x)取代f(x)中的x化简即得．
(2)换元法(配凑法)：已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式时，将f(x)表示成关于g(x)的表达式的形式即可得f(x)．
(3)消元法：若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)，f等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)．
(4)方程组法：利用函数的奇偶性构造方程组，通过解方程组求解．
1．定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，
规定：函数h(x)＝
若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，x∈R，则函数h(x)的解析式为________，函数h(x)的最大值为________．
h(x)＝ [(1)由于函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，根据题意得：
当x≥1时，h(x)＝f(x)g(x)＝(－2x＋3)(x－2)＝－2x2＋7x－6；
当x＜1时，h(x)＝g(x)＝x－2.
所以h(x)＝
(2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－22＋，因此，当x＝时，h(x)最大，h(x)的最大值为.若x＜1时，h(x)＝x－2＜1－2＝－1.
∴函数h(x)的最大值为.]
函数的单调性
本章主要学习了函数的单调性和奇偶性这两个基本性质，其中函数的单调性是研究函数的有力工具，利用单调性可以比较函数值的大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况．
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,5]上的最大值和最小值．
[解] (1)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1
＝3－－3＋
＝.
∵x1∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可得f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(5)＝.
判定函数单调性的方法
?1?直接法.
对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接判断它们的单调性.
?2?图象法.,画出函数的图象，根据其图象的上升或下降趋势判断函数的单调性.
?3?定义法.
利用证明函数单调性的四个步骤?①取值
②求Δy
③判断符号
④下结论?进行判断.
?4?运算性质法
①当a>0时，函数af?x?与f?x?有相同的单调性，当a<0时，函数af?x?与f?x?有相反的单调性.
②当函数f?x?恒为正?或恒为负?时，f?x?与有相反的单调性.
③若f?x?≥0，则f?x?与具有相同的单调性.
提醒：研究函数的单调性必须先求出函数的定义域，在定义域的子集上研究其性质.
2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明f(x)为单调减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解] (1)令x1＝x2>0，代入得
f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，则f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于x>1时，f(x)<0.
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0.
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得
f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
函数的奇偶性
函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．
【例3】 已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并证明．
[思路探究] (1)由函数是奇函数得到c＝0，再利用题中的2个等式求出a，b的值．
(2)在区间上任取2个自变量x1，x2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，依据单调性的定义做出判断．
[解] (1)∵f(－x)＝－f(x)，∴c＝0.
∵
∴
∴
(2)由(1)可得f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝2x＋在区间上是单调递减的．
证明：设任意的两个实数0∵f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋－＝2(x1－x2)＋＝，又∵0∴x2－x1＞0,0∴f(x)＝2x＋在区间上是单调递减的．
1．已知函数的奇偶性求函数的解析式
可先根据奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而得到f(x)的解析式．
2．已知带有字母参数的函数的解析式及奇偶性求参数
常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于参数的恒等式，由系数的对等性可得知参数的值．也可采用特值法求解，但是解答题中需代回验证．
3．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)[解] ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数．
∴解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
一次函数、二次函数
【例4】 (1)若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)．
①若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式．
②在①的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
[解] (1)因为函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，
所以所以m＞，n＞－.
(2)①因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，
所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，又a≠0，所以a＝1，b＝2，f(x)＝(x＋1)2.
②g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－，
由g(x)的图象知，要满足题意，则≤－1或≥2，即k≤0或k≥6.
所以实数k的取值范围是(－∞，0]∪[6，＋∞)．
1．形如y＝kx＋b(k≠0)的函数是一次函数；当k≠0，b＝0时，为正比例函数；当k＞0时，函数为增函数，当k＜0时，函数为减函数；涉及直线与直线的交点问题常联立方程组求解．
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值确定了直线在y轴上的截距，同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．
2．影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法
(1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．
4．已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求实数a的取值范围．
[解] f(x)＝42＋2－2a(0≤x≤2)，
①当≤0，即a≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝3.
即a2－2a＋2＝3，
得a＝1－或a＝1＋(舍去)；
②当0<<2，即0得a＝－(舍去)；
③当≥2，即a≥4时，
f(x)的最小值为f(2)＝3，
即16－8a＋a2－2a＋2＝3，
解得a＝5＋或a＝5－(舍去)．
综上可知，a＝1－或a＝5＋.
数学建模——函数的应用
【例5】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
建立函数模型要遵循的原则
?1?简化原则.,建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
?2?可推演原则.,建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
?3?反映性原则.,建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
5．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)
项目类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．
[解] (1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，
y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20为增函数，又0≤x≤200，x∈N.
∴x＝200时，生产A产品有最大利润(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)，
y2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N.
∴x＝100时，生产B产品有最大利润460(万美元)，
(y1)max－(y2)max＝1 980－200m－460＝1 520－200m，
当6≤m＜7.6时，(y1)max－(y2)max＞0，
当m＝7.6时，(y1)max－(y2)max＝0，
当7.6＜m≤8时，(y1)max－(y2)max＜0，
∴当6≤m＜7.6，投资A产品200件可获得最大年利润，
当7.6＜m≤8，投资B产品100件可获得最大年利润，
m＝7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润.
函数与方程
【例6】 已知函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围．
[思路探究] 法一：将函数零点问题转化成方程根的问题求解．法二：借助函数f(x)的图象利用数形结合的思想求解．
[解] 法一：(正难则反思想)函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．
函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，Δ＝1－4a<0，
∴a>.
设A＝，则?RA＝，
即满足题意的实数a的取值范围是.
法二：(数形结合思想)函数f(x)的图象如图所示，f(x)至少有一个零点为非负实数，必有f＝－＋a≤0，
∴a≤，a的取值范围是.
(变条件)将本例中“至少有一个零点为非负实数”改为“有一个正实数零点和一个负实数零点”，求实数a的取值范围．
[解] 由题意可得f(0)＜0，即a＜0.
所以a的取值范围是(－∞，0)．
函数与方程思想在解题中的两个应用
?1?借助有关初等函数的性质，解有关求值、解?证?不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.
?2?通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到相互转化，多角度解决问题的目的.
6．已知f(x)＝g(x)＝x，则函数f(x)与g(x)的图象的交点个数为________．
2 [求图象交点个数也就是看方程的解的个数，
当x≤－1或x≥2时，由x2－x－1＝x，
可得x＝1－(舍去)或x＝1＋.
当－1＜x＜2时，显然有f(1)＝g(1)＝1，
所以x＝1，
综上可知，f(x)＝g(x)的解有两个，所以f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.(另外也可通过图象作图判断)]
课件64张PPT。第四章 函 数章末复习课23456函数的概念789101112131415161718函数的单调性19202122232425262728函数的奇偶性293031323334353637一次函数、二次函数38394041424344数学建模——函数的应用4546474849505152535455函数与方程5657585960616263点击右图进入…Thank you for watching !章末强化训练(四) 函数
(教师独具)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )
A. B.
C．{9} D．(－∞，9)
B [由题意，得Δ＝36－4×2m＜0，则m＞.]
2．f(x)＝的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [当0≤x≤1时，f(x)＝2x为增函数且f(1)＝2，又1＜x＜2时，f(x)＝2，x≥2时，f(x)＝3，所以f(x)的最大值为3.]
3．直线mx＋(m－2)y＝3(m≠2，m≠0)所对应的一次函数为增函数时，m应满足的条件是( )
A．m＞0 B．m＜2
C．0＜m＜2 D．无法确定
C [把mx＋(m－2)y＝3整理，得y＝x＋.要使得一次函数为增函数，则＞0，解得0＜m＜2.]
4．函数y＝x3－16x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [令x3－16x＝0，易解得x＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x的零点有3个．]
5．已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(1,2)
A [∵当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1.
∴f(1)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)为偶函数．
∴f(x－1)＜0等价于f(|x－1|)＜f(1)，
∴|x－1|＜1，∴－1＜x－1＜1，
解得0＜x＜2.
综上所述，f(x－1)＜0的解集为(0,2)．]
二、填空题
6．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________．
[由得
即x∈.]
7．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝________，面积S＝________.
1 [根据题目条件0＜＜3，即0＜x＜6，所以S＝(4＋x)＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6)．故当x＝1时，S取得最大值.]
8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.
＋ [在f(x)＝2f·－1中，用代替x，
得f＝2f(x)·－1，
由
得f(x)＝＋.]
三、解答题
9．已知点A(－1，－1)在抛物线f(x)＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求抛物线上A点关于对称轴对称的点B的坐标；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－4)与f(3)的大小．
[解] (1)∵－1＝k2－1＋2(k－2)＋1，
∴k2＋2k－3＝0，∴k＝1或k＝－3.
∵k＝1时，k2－1＝0，不合题意，
∴k＝－3，
∴f(x)＝8x2＋10x＋1，
∴对称轴为x＝－.
(2)设B(x0，y0)，则
∴∴B.
(3)∵>，∴f(3)>f(－4)．
10．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
[解] (1)f(x)为奇函数，
证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0.令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，
∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，
∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)为增函数，
∴当x＝－2时，函数有最小值f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.
当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.
[等级过关练]
1．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )
A．0 B．1 C. D．5
C [由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．
又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.]
2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
B [法一：(直接法)根据规定10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应加3.因此利用取整函数可表示为y＝.
法二：(排除法)若x＝56，y＝5，排除C，D；若x＝57，y＝6，排除A.故选B.]
3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围是________．
[设x2>x1>－2，f(x2)－f(x1)＝－＝，
因为f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，
所以<0，
因为(x2＋2)(x1＋2)>0，x2－x1>0，
所以2a－1<0，所以a<.]
4．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(3，＋∞) [先作出函数图象，结合图象进行求解．
作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m20.又m>0，解得m>3.]
5．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
[解] (1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)．
②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，ymax＝1 200(t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)，
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
