指数、对数的运算问题
解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．
【例1】 (1)若xlog2 3＝1，则3x＋9x的值为( )
A．6 B．3
C. D.
(2)已知2a＝5b＝c，＋＝1，则c＝________.
(1)A (2)10 [(1)由xlog2 3＝1得x＝log3 2,3x＋9x＝
1．指数的运算
(1)要注意化简的顺序，一般负指数先转化为正指数，根式先化为分数指数幂．
(2)若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．
(3)进行指数运算时，需要注意根式的两个重要结论以及运算性质的灵活应用．
2．对数的运算
(1)要注意公式应用过程中范围的变化前后要等价．
(2)要注意对数的三个运算法则及对数恒等式、换底公式的灵活应用．
(3)底数相同的对数式化简时常用方法：
①“拆”：将积(商)的对数拆成同底的对数的和(差)；
②“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．
1．求下列各式的值．
[解] (1)原式＝＋22＋2＝＋4＋2＝.
(2)原式＝log3 ＋log552＝log332＋2＝2＋2＝4.
函数图象与性质的应用
指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图象和性质是考查的重点，应熟练掌握图象的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图象和性质的影响．
【例2】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1,2] D.
C [如图所示：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.
∴loga2≥1，
∴11．指数函数、对数函数及幂函数性质的对比
(1)指数函数与对数函数的图象与性质都与底数a的取值密切相关，而幂函数的图象与性质与指数α密切相关．底数相同的指数函数、对数函数互为反函数，其单调性相同．
(2)指数函数图象过定点(0,1)，对数函数图象过定点(1,0)，幂函数图象过定点(1,1)，并且在指数α>0时过(0,0)，(1,1)．
2．含有对数式的函数最值的求法
含有对数式的函数最值问题，首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下，利用换元法将问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题．
提醒：研究函数的性质应树立定义域优先的原则．
2．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)要使函数有意义，
则有
解得－3(2)函数可化为：f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
因为－3所以0<－(x＋1)2＋4≤4，
数的大小比较问题
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．
【例3】 (1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
(2)设a＝log2，b＝log3，c＝0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
(1)C (2)D [∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.
1．数(式)的大小比较及常用的方法
比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间量法、作差法、作商法等．
2．数的大小比较常用的技巧
(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
3．比较下列各组数的大小．
[解] (1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.6 5.1<0，
所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.
(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，由底数变化对图象位置的影响知：
log712>log812.
法二：＝＝＝log78>1.
因为log712>0，log812>0，
所以log712>log812.
分类讨论思想
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．
[思路探究] (1)结合f(3)(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．
(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)．
①当00.
∴无解；
②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0.
∴解得a<2.
∴实数a的取值范围为(1,2)．
分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用：
(1)原理：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；
底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数．
(2)步骤：
①确定底数的大小；
②根据底数的大小，依据单调性及定义域列出不等式(组)；
③解所列出的不等式(组)求得参数的范围．
4．设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
[解] 当0又当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q；
当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.
又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
综上可得P>Q.
函数与方程思想
【例5】 若函数f(x)＝10|lg x|－a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
B [若函数f(x)＝10|lg x|－a有两个零点，
则10|lg x|－a＝0有两个实数根，即10|lg x|＝a有两个实数根，
转化为函数y＝10|lg x|与y＝a图象有两个不同的交点，为此只要画出y＝10|lg x|的图象即可．
当x≥1时，lg x≥0，y＝10|lg x|＝10lg x＝x；
当0这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a>1.]
1．函数与方程的关系
(1)函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．
(2)方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．
(3)通过函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的．
2．应用函数思想的几种常见题型
(1)遇到变量，构造函数关系解题．
(2)有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析．
(3)含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系．
5．若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则实数m的取值范围是________．
[若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则|x－2|(x＋1)＝m至少有两个实数根，即函数y＝|x－2|·(x＋1)与y＝m的图象至少有两个交点．
当x≥2时，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝－，
当x<2时，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)
＝－＋，
所以y＝
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出，如图．依题意，得0≤m≤.]
课件47张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）章末复习课23456指数、对数的运算问题78910111213函数图象与性质的应用14151617181920数的大小比较问题212223242526272829分类讨论思想3031323334353637函数与方程思想383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !章末强化训练(五) 基本初等函数(Ⅰ)
(教师独具)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各式正确的是( )
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
C [由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误，故选C.]
2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3 C．3 D．1
C [由题意得得a＝3，故选C.]
3．设f(log2 x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是( )
A．128 B．16
C．8 D．256
B [令log2x＝t，则x＝2t，所以f(t)＝22t，故f(2)＝222＝16.]
4．已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝( )
A．－2 B．0
C．2 D．9
A [当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2[3－(2－a)]＝1，解得1＋a＝，即a＝－(舍去)；当2－a≥2，即a≤0时，
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
C [因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.]
二、填空题
6．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________，b＝________.
3 1 [由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4.
由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.]
8．已知幂函数y＝xm－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则m＝________.
1 [由题意得m－3<0，且m－3为偶数，由m－3<0得m<3，又m∈N*，则m的值可能为1或2，
验证知m＝1时，才能保证m－3为偶数，故m＝1.]
三、解答题
9．比较下列各组中值的大小：
(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；
(2)log53，log63，log73.
[解] (1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.
(2)∵0∴log53>log63>log73.
10．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值．
[解] 令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4，则y＝22x－1－3·2x＋5＝k2－3k＋5.
又y＝(k－3)2＋，k∈[1,4]，
∴y＝(k－3)2＋在k∈[1,3]上是减函数，
在k∈[3,4]上是增函数，∴当k＝3时，ymin＝；当k＝1时，ymax＝.
即函数的最大值为，最小值为.
[等级过关练]
1．函数f(x)＝log2(4x＋1)－1的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．关于直线y＝x对称
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称．]
2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
C [设2016年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2020年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]
4．
5．已知a∈R，函数f(x)＝log2.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素，求a的值；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
[解] (1)由log2>1，得＋1>2，解得{x|0(2)log2＋log2(x2)＝0有且仅有一解，
等价于x2＝1有且仅有一解，等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一解．
当a＝0时，x＝1，符合题意；
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，a＝－.
综上，a＝0或－.
(3)当0＋a，
log2>log2，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1)＝log2－log2≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0，
对任意t∈成立．
因为a>0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，所以t＝时，y有最小值a－，由a－≥0，得a≥.故a的取值范围为.
