空间几何体的表面积与体积
【例1】 (1)底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的侧面面积是________．
(2)已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则这个圆锥的体积为________．
(1)160 (2)12π(cm3) [(1)依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为＝10，底面的另一条对角线长为＝2.
又菱形的两条对角线互相垂直平分，故底面边长为＝8，则这个直棱柱的侧面面积S侧＝4×8×5＝160.
(2)由题意可知，圆锥的轴截面为等腰三角形，其腰长为5 cm，底边上的高为4 cm，所以底边长的一半，即圆锥的底面半径r＝＝3(cm)，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π×32×4＝12π(cm3)．]
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.
1．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为( )
A．3 B. C．1 D.
C [在正△ABC中，D为BC的中点，
则有AD＝AB＝，
S△DB1C1＝×2×＝.
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A-B1DC1底面上的高．
∴V三棱锥A-B1DC1＝S△DB1C1·AD＝××＝1.]
球的切接问题
【例2】 (1)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________．
(2)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________．
(1)1∶∶3 (2)18π [(1)设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r.如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝＝＝，V正四面体SABC＝××＝.由正四面体的性质知三个球的球心重
合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝，V正四面体SABC＝××r×4＝r＝，所以r＝，R＝，而棱切球的半径为OD＝＝，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为∶∶＝1∶∶3.
(2)法一：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得
CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，∴R＝3.
故V半球＝πR3＝18π.
法二：将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，∴R＝a＝3.故V半球＝πR3＝18π.]
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
B [如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.]
空间中的平行关系
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
[思路探究] 假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点．
[解] 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，∴PF綊MA.
∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.
又AF?平面PMD，PM?平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO，因为M，O分别为PC、AC的中点，所以MO∥AP，
又因为MO?平面BDM，PA?平面BDM，
所以PA∥平面BDM，
又因为PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH.
空间中的垂直关系
【例4】 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[思路探究] (1)由面面垂直的性质可证．
(2)先证明C1N⊥侧面BB1C1C，再证截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[解] (1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥侧面BB1C1C.
∴AD⊥CC1.
(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．
4.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
证明：PB⊥CD.
[证明] 如图，取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连接OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD.
又OE⊥OP，BD∩OP＝O，
所以OE⊥平面PDB，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
课件35张PPT。第六章 立体几何初步章末复习课空间几何体的表面积与体积球的切接问题空间中的平行关系空间中的垂直关系点击右图进入…Thank you for watching !章末强化训练(六) 立体几何初步
(教师独具)
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[合格基础练]
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．]
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是( )
A B C D
A [由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]
3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
B [由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.]
4．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β.( )
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
A [∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]
5．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D [由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]
二、填空题
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
[设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.]
7．用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)．]
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
[如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝.
∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，
AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝.]
三、解答题
9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB⊥BC，BC＝1，AA1＝AC＝2，E、F分别为A1C1、BC的中点．
(1)求证：C1F∥平面EAB；
(2)求三棱锥A-BCE的体积．
[解] (1)证明：法一：取AB中点G，连接EG，FG.
∵G，F分别是AB，BC的中点，
∴FG∥AC，且FG＝AC.
又∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，
∴FG∥EC1，且FG＝EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG.
又∵EG?平面ABE，
C1F?平面ABE，
∴C1F∥平面ABE.
法二：取AC中点H，连接C1H，FH，则C1E∥AH，且C1E＝AH，
∴四边形C1EAH为平行四边形，
∴C1H∥EA.
又∵EA?平面ABE，C1H?平面ABE，
∴C1H∥平面ABE，
∵H、F分别为AC、BC的中点，
∴HF∥AB.
又∵AB?平面ABE，FH?平面ABE，
∴FH∥平面ABE.
又∵C1H∩FH＝H，C1H?平面C1HF，FH?平面C1HF，
∴平面C1HF∥平面ABE，
又∵C1F?平面C1HF，
∴C1F∥平面ABE.
(2)∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
∴AB＝＝，
∴三棱锥A-BCE的体积为
VA-BCE＝VE-ABC＝S△ABC·AA1
＝×××1×2＝.
10.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
[解] (1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
又CD?平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
[等级过关练]
1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
D [由直观图与原图形中边OB长度不变，
得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，
∵OB＝O′B′，∴h＝4.]
2．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
C [由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．]
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
90° [∵B1C1⊥平面A1ABB1，
MN?平面A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1又MC1?平面MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为________．
7∶5(或5∶7) [设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，则△AEF的面积为S，由于VAEF-A1B1C1＝·h·＝Sh，则剩余不规则几何体的体积为V′＝V－VAEF－A1B1C1＝Sh－Sh＝Sh，所以两部分的体积之比为VAEF－A1B1C1∶V′＝7∶5.]
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
[证明] (1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1?平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
