1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例了解集合的含义．(一般)
2.掌握集合中元素的三个特性．(重点、难点)
3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1.通过集合概念的学习，培养数学抽象素养
2.借助元素与集合关系及元素的特性提升逻辑推理素养.
1．元素与集合的相关概念
2．元素与集合的关系及元素的特性
(1)关系
(2)特性
思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
[提示] 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
思考2：集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？
[提示] 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的．
3．集合的分类及常用数集
(1)分类
(2)常用的数集：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－2 C. D.
D [选项A、B、C中的数都是有理数，因此也是实数，选项D中，是无理数．]
2．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [集合中任何两个元素都不相同，所以集合中的元素有3个，分别是b，o，k.]
3．下列对象能构成集合的是( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2018年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤莘县第一中学所有聪明的学生．
A．①②④ B．②⑤
C．③④⑤ D．②③④
D [由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．]
4．用符号“∈”或“?”填空：
0__________?，－________Z，π __________Q，________Q，|－4|________N*.
? ? ? ∈ ∈ [根据常见数集及其记法进行判断．]
集合的概念
【例1】 下列所给的对象能构成集合的是________．
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2019年第二届青运会的年轻运动员；
⑥π的近似值的全体．
[思路探究] 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．
①③④ [①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；
⑥不能构成集合，因为“π的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．]
判断一组对象能否构成集合的方法
?1?依据：元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合.
?2?切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.
1．考察下列每组对象，能构成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第48届世界体操锦标赛金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
B [①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合．②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．]
元素与集合的关系
【例2】 给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0?N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|?Z.
其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[思路探究] 首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．
C [R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．]
判断元素与集合关系的两种方法
?1?直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
?2?推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2．(1)已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
(1)D (2)B [(1)∵a∈A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
(2)从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.]
集合中元素的特性
[探究问题]
1．“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？
提示：两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．
2．若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？
提示：因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
【例3】 若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．
[思路探究] 按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．
[解] (1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；
(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；
(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.
当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
(变条件)若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．
[解] ∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3符合题意．
故所求a的值为1.
集合中元素的特征性质的应用策略
?1?如果一个元素是集合中的元素，则可以和集合中的任何一个元素相等，因为集合中的元素是无序的.
?2?含有字母的集合问题处理时先根据集合中元素的确定性列出方程求出字母的值，然后代入检验集合中的元素是否是互异的.
3．若集合A中有且仅有三个数1,0，a，若a2∈A，求a的值．
[解] 若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a2≠0.
若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，所以当a＝－1时适合．
若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．
综上可知，a＝－1.
1．本节课的重点是理解集合的含义及集合元素的三个特性，元素与集合的关系，难点是集合元素特性的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断一组对象能否构成集合的方法．
(2)判断元素与集合关系的方法．
(3)利用集合元素的特性求解参数问题．
3．本节课的易混点是常用数集的字母表示，易错点是求解字母参数时易忽视利用集合元素互异性检验．
1．思考辨析
(1)高一数学课本中较难的题组成集合．( )
(2)漂亮的花组成集合．( )
(3)联合国常任理事国组成集合．( )
(4)空集中只含有元素0，而无其余元素．( )
[解析] (1)×.因为较难的题没有统一的标准，即元素不确定，不能组成集合．
(2)×.因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．
(3)√.因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．
(4)×.空集不含任何元素，错误．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
C [由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.]
3．方程x2－4x＋4＝0的解集中，有__________个元素．
1 [易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．]
4．已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．
[解] 根据集合元素的互异性，得解得x≠±1，x≠0.
所以x满足的范围是{x|x∈R且x≠±1，x≠0}．
课件43张PPT。第一章 集 合1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念2345a∈Aa属于Aa?Aa不属于A确定不同前后顺序678无限个不含任何元素有限个ZNN＋N*91011121314集合的概念15161718192021元素与集合的关系2223242526集合中元素的特性27282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 集合的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若集合A中有两个元素x与x2，则x的值可以是( )
A．0 B．1 C．0或1 D．－1
D [当x＝0或1时，x＝x2，不满足集合元素的互异性．故选D.]
2．下列对象不能构成集合的是( )
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
D [研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.]
3．下列三个关系式：①∈R；②?Q；③0∈Z.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
B [①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．]
4．下面几个命题中正确命题的个数是 ( )
①集合N＋中最小的数是1；
②若－a?N＋，则a∈N＋；
③若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N＋，且a?N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．]
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为 ( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
B [若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A，若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.]
二、填空题
6．用符号∈或?填空：
(1)0________N＋；
(2)(－4)2________N＋；
(3)________Z；
(4)π＋3________Q.
[答案] (1)? (2)∈ (3)? (4)?
7．下列条件不能构成集合的是________．
①足够小的负数全体；
②爱好飞机模型的一些人；
③某班本学期视力较差的同学；
④某校某班某一天所有课程．
①②③ [①②③的对象不确定，唯有④某校某班某一天所有课程的对象确定，故不能构成集合的是①②③.]
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
6 [∵x∈N,2∴结合数轴知a＝6.]
三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
[解] ∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
[解] (1)根据集合元素的互异性可知
(2)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
又－2∈A，∴x＝－2.
[等级过关练]
1．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合中，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
A [法一：因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
法二：令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．]
2．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [若a＝0∈N，则4－a＝4∈N，符合题意；
若a＝1∈N，则4－a＝3∈N，符合题意；
若a＝2∈N，则4－a＝2∈N，不合题意；
若a＝3∈N，则4－a＝1∈N，符合题意；
若a＝4∈N，则4－a＝0∈N，符合题意；
当a＞4且a∈N时，均不符合题意．
综上，集合A的个数是2，故选C.]
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
0或1 [由题意，知t∈N且t＝－x2＋1≤1，故t＝0或1.]
4．若方程ax2＋x＋1＝0的解构成的集合只有一个元素，则a的值为________．
0或 [当a＝0时，原方程为一元一次方程x＋1＝0，满足题意，所求元素即为方程的根x＝－1；
当a≠0时，由题意知方程ax2＋x＋1＝0只有一个实根，所以Δ＝1－4a＝0，解得a＝；所以a的值为0或.]
5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
∴a≠，
∴集合A不可能是单元素集.
