1.1.2 集合的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过列举法的学习培养学生的数学运算素养.
2.通过描述法的学习提升数学抽象素养.
1．列举法
把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.
思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？
[提示] ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
2．集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
3．描述法
思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？
[提示] 不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．
1．集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为( )
A．{1,3} B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
A [解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，应用列举法表示解集为{1,3}．]
2．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为( )
A．满足y＝x2的所有函数值y组成的集合
B．满足y＝x2的所有自变量x的取值组成的集合
C．函数y＝x2图象上的所有点组成的集合
D．以上均不对
A [由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，则M为满足y＝x2的所有函数值y组成的集合．]
3．不等式4x－5<7的解集为________．
{x|x<3} [由4x－5<7解得x<3，所以可表示为{x|x<3}．]
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合C.
[解] (1)因为大于1且小于6的整数
包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1,4)，所以C＝{(1,4)}．
使用列举法表示集合时，需要注意几点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x，y)}，而非数集{x，y}．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．
(2)元素不重复，元素无顺序．
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．
(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．
1．用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合.
(1)小于100的所有非负整数的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(4)方程组的解的集合；
(5)被5除余3的所有整数组成的集合；
(6)不等式3x－6≤2x＋7的解组成的集合．
[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．
[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x|0≤x<100，x∈Z}．
(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x||x|>6}．
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x，y)|xy<0}．
(4)方程组的解的集合，用描述法表示为
或.
(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x|x＝5k＋3，k∈Z}．
(6)解不等式3x－6≤2x＋7得x≤13，
所以不等式3x－6≤2x＋7的解组成的集合为{x|x≤13}．
利用描述法表示集合应关注五点
?1?写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
?2?所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
?3?不能出现未被说明的字母.
?4?在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
?5?在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等.
2．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)使y＝有意义的实数x的集合；
(3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合．
[解] (1)正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)要使y有意义，必须使分母不为0，即x2＋x－6≠0，可得x≠2且x≠－3，故集合可表示为{x|x∈R，x≠2且x≠－3}．
(3)第一、三象限的角平分线应是直线y＝x，故集合为{(x，y)|y＝x，x∈R，y∈R}.
列举法与描述法的灵活应用
[探究问题]
1．集合{x||x|<2，x∈Z}用列举法如何表示？
提示：{－1,0,1}．
2．集合{(x，y)|y＝x＋1}与集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．
提示：集合{(x，y)|y＝x＋1}中的元素是直线y＝x＋1上所有的点；集合{(x，y)|y＝2x＋1}中的元素是直线y＝2x＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由解得即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．
3．设集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}，集合A中的元素是什么？
提示：集合A中的元素是方程ax2＋x＋1＝0的解．
【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
[思路探究] →→→
[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．
[解] 集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.
故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．
识别集合含义的两个步骤
?1?一看代表元素：例如{x|p?x?}表示数集，{?x，y?|y＝p?x?}表示点集.
?2?二看条件：即看代表元素满足什么条件?公共特性?.
3．选择适当的方法表示下列集合．
(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于1且小于7的有理数；
(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
[解] (1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．
(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为
{x∈Q|1(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
1．本节课的重点是掌握用列举法和描述法表示集合，难点是对描述法表示集合的理解及两种表示法的灵活运用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)列举法表示集合的注意点．
(2)描述法表示集合的注意点．
3．本节课的易混点是点集与数集，易错点是描述法表示集合中除代表元素以外的字母而未加说明.
1．思考辨析
(1)集合{0}∈{x|x>1}．( )
(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．( )
(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．( )
[解析] (1)×.{x|x>1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．
(2)√.集合{x|x<5，x∈N}表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．
(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x|x2－3x＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
B [由x－3<2得x<5，又x∈N＋所以x＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]
3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．
[答案] {x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6}
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)所有的正方形；
(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
[解] (1)解方程组得故解集为{(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
课件44张PPT。第一章 集 合1.1 集合与集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法花括号“{ }”所有都不具有性质p(x)都具有性质p(x)用列举法表示集合用描述法表示集合列举法与描述法的灵活应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 集合的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知A＝{x|3－2x>0}，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C.∈A D．0?A
B [A＝{x|3－2x>0}＝x，∴1∈A.]
2．下列命题中正确的是 ( )
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．只有②和④
C [①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一一列举，故选C.]
3．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．(2,3)
B [解方程组解得所以答案为{(2,3)}．]
4．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x|x－1＝0} D．{x＝1}
D [选项A、B、C都是用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D中元素为等式x＝1.]
5．集合用描述法可表示为( )
A.
B.
C.
D.
D [由3，，，，即，，，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为xx＝，n∈N*.]
二、填空题
6．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝________.
4 [由A＝B得故
∴a＋b＝4.]
7．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．
{0,1,4} [(－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．]
8．若2?{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．
{a|a≤2} [由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，
∵2?{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．]
三、解答题
9．用列举法表示下列集合：
(1)A＝x∈N；
(2)由＋(a，b∈R且a，b≠0)所确定的实数集合．
[解] (1)∵∈N，x∈N，∴6－x的值分别为1,2,3,6.
∴x相应的值为5,4,3,0，
∴A＝{0,3,4,5}．
(2)当a>0且b>0时，＋＝2；
当a>0且b<0时，＋＝0；
当a<0且b>0时，＋＝0；
当a<0且b<0时，＋＝－2.
故该集合用列举法表示为{－2,0,2}．
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．
(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
[等级过关练]
1．已知x，y为非零实数，则集合M＝mm＝＋＋为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
C [当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]
2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6 C．8 D．10
D [列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共10个元素，故选D.]
3．集合{1,4,9,16,25}，用描述法表示为________．
{x|x＝n2，n∈Z且1≤n≤5} [1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，故用描述法表示为{x|x＝n2，n∈Z且1≤n≤5}．]
4．集合A＝{x|03 [A＝{x|0所以A，B的公共元素个数是3个．]
5．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的取值范围．
[解] (1)∵1∈A，
∴a×12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
(2)当a＝0时，x＝，满足题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝.
∴a＝0或a＝时A为单元素集合．
(3)当a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
即a<且a≠0时，
方程ax2－3x＋1＝0有两解，
∴A为双元素集合时，a的取值范围为.
