1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)
1.通过两集合关系的判断，培养学生的数学抽象素养.
2.借助集合关系求参数，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．维恩(Venn)图
用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系．
2．集合间的关系
思考1：如何理解子集、真子集的概念？
[提示] (1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性．
①A?B等价于对任意x∈A，都有x∈B；
②AB等价于A?B，且至少有一个元素x∈B，但x?A.
(2)A?B包含A＝B和AB两种情况，真子集是子集的特殊情况．
思考2：如何理解两集合相等？
[提示] (1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征．
(2)若A?B且B?A，则A＝B，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意x∈A，都有x∈B；反之，对任意x∈B，都有x∈A，这说明集合A等于集合B.
3．子集、真子集的性质
(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.
(3)如果A?B，B?C，则A?C.
(4)如果AB，BC，则AC.
4．集合关系与其特征性质之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有
(1)若p(x)?q(x)，则A?B；反之，若A?B，则p(x)?q(x)．
(2)若p(x)?q(x)，则A＝B；反之，若A＝B，则p(x)?q(x)．
1．已知集合M＝{8}，集合P＝{1,4,8}，则有( )
A．M＝P B．P?M
C．PM D．MP
D [因为M＝{8}，P＝{1,4,8}，由真子集的定义知，选D.]
2．集合M＝{1,2,3,4,5}的子集个数是( )
A．32 B．31 C．16 D．15
A [因为M＝{1,2,3,4,5}中有5个元素，所以集合M的子集个数为25＝32个．]
3．已知A＝{1，x,2x}，B＝{1，y，y2}，若A?B，且A?B，则实数x＋y＝________.
4或 [因为A?B，且A?B，所以A＝B，
所以或
解得或或(舍去)
所以x＋y＝4或.]
两个集合之间关系的判定
【例1】 (1)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示不正确的是( )
A．1∈A B．{－1}∈A
C．??A D．{1，－1}?A
(2)已知集合M＝{x|y＝x2－2}，集合N＝{y|y＝x2－2}，则集合M，N之间的关系是________．
(3)设集合M＝，N＝xx＝＋n，n∈Z，则集合M，N之间的关系是________．
[思路探究] 由元素关系?集合关系．
(1)B (2)NM (3)NM [(1)A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，元素与集合之间是“∈”“?”关系，
集合与集合之间是“?”“ ”“＝”关系，
由选项可知A、C、D正确，选项B中应为{－1}A.
(2)M＝{x|y＝x2－2}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以NM.
(3)N＝xx＝＋n，n∈Z＝xx＝，n∈Z,2n＋1为奇数，而集合M中，M＝xx＝，n∈Z，所以NM.]
1．(变条件)本例(2)中，若P＝{(x，y)|y＝x2－2}，其他条件不变，则P与M，N之间有什么关系？
[解] P＝{(x，y)|y＝x2－2}表示二次函数y＝x2－2上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系．
判断两集合关系的关键及方法
?1?关键：明确集合中的元素及其属性.
?2?方法：①列举法：将集合中的元素一一列举出来；
②元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断；
③ 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断.
提醒：?1?用描述法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是如果特征性质的本质相同，表示的仍是同一个集合.
?2?用描述法表示集合时，如果特征性质相同，但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集合.
1．下列命题中正确的有________(填序号)．
①{2,4,6}?{2,3,4,5,6}；②{菱形}?{矩形}；③{x|x2＝0}?{0}；④{(0,1)}?{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}{x|x≥2}．
①③ [根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1}?{x|x≥2}．
因此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥.]
集合的相等及应用
【例2】 集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 019＋b2 018的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
[思路探究] 根据集合相等的定义求出字母a与b的值，注意集合中元素互异性的应用．
C [∵＝{0，a2，a＋b}，又a≠0，
∴＝0，∴b＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.
又a≠1，∴a＝－1，∴a2 019＋b2 018＝(－1)2 019＋02 018＝－1.]
1．若两集合相等，则集合中的元素完全相同．
2．本例题以“0”为着眼点，中a不为0为突破口进行解题．
3．解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a＝1应舍去)．
2．设A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＋y＝________.
1 [∵A＝B，∴0∈A.
(1)当x＝0时，x2＝0，此时集合B中不满足元素的互异性，舍去．
(2)当y＝0时，由x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由(1)可知x＝0不合题意，舍去．
综上所述，x＝1，y＝0，x＋y＝1.]
由集合间的关系求参数
[探究问题]
1．设集合A＝{1,2}，若B?A，则集合B可能是什么？设集合A＝{1,2,3}，若B?A，则集合B共有几个？设集合A＝{1,2,3，…，n}，若B?A，则集合B共有几个？
提示：?，{1}，{2}，{1,2}；8个；2n个．
2．“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？
提示：正确．
3．设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1
提示：集合A，B，C可能是空集．当a＝0时，集合A是空集，当a>时，集合B是空集，当a≤1时，集合C是空集．
【例3】 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}, 已知B?A.求实数m的取值范围．
[思路探究] 1.讨论B是否为??m的取值范围．
2．数集?数轴?取值范围．
[解] ①当m－1>2m＋1，
即m<－2时，B＝?符合题意；
②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴如图所示，
得解得0≤m≤.
所以0≤m≤.
综合①②可知，实数m的取值范围为{m|m<－2或0≤m≤}.
2．(变条件)将例3中集合A＝{x|－1≤x≤6}改为A＝{x|－1[解] 由例题可知，m<－2，即B＝?，符合题意；
当A＝{x|－1解得即0所以，实数m的取值范围为mm<－2或03．(变条件)将例3中B?A改为A?B，这样的实数m是否存在？
[解] 要使A?B，则
即
∴m∈?.
即这样的m不存在．
4．(变条件)若将例3中B?A改为BA，结果有变化吗？
[解] 由例题可知m<－2时满足题意当m≥－2即B≠?时，要使BA，则需或
解得0即0≤m≤.
综上可知，0≤m≤或m<－2.所以结果没变化．
已知集合间的关系求字母的值或范围的解题策略
?1?若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程.
?2?若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示.
?3?此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
1．本节课的重点是子集，真子集的概念、集合相等及空集等概念，难点是对概念的理解及子集的关系的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断两个集合间关系的方法．
(2)由集合相等求参数的方法．
(3)利用集合间的关系求解参数问题的方法．
3．本节课的易错点是由集合间的关系求参数时易忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴分析时忽视端点是否能取到等.
1．思考辨析
(1){0}是?.( )
(2)正整数集是自然数集的子集．( )
(3)空集是任何集合的子集．( )
[解析] (1)×.?是不含任何元素的集合，而{0}表示由一个元素0构成的集合．
(2)√.由正整数集和自然数集的概念知此题正确．
(3)√.规定空集是任何集合的子集，故正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,5}，则有( )
A．N＜M B．NM
C．N∈M D．N＝M
B [由题意知N中任意元素都是M中的元素，且M中存在不属于N的元素，所以NM.]
3．集合{x|x2＝2}含有的子集个数为________．
4 [{x|x2＝2}＝{－，}中含有两个元素，所以它的子集有22＝4个．]
4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
[解] 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
课件49张PPT。第一章 集 合1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系234内部 5678任意一个集合??A 子集 A?A A?C 9p(x)?q(x)A?Bp(x)?q(x)A＝B101112131415两个集合之间关系的判定161718192021222324集合的相等及应用25262728由集合间的关系求参数2930313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 集合之间的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
B [选项A、C、D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.]
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
C [由A＝B得x2＝1，∴x＝±1，故选C.]
3．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则( )
A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3
A [由题意知1,2为方程x2＋bx＋c＝0的两个根，所以解得b＝－3，c＝2.]
4．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
A [在数轴上表示出两个集合(图略)，因为AB，所以a≥2.]
5．集合M＝x，k∈Z，N＝xk∈Z，则( )
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M∩N＝?
C [∵M中：
x＝＋＝
N中：x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N?M.]
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当符号填空：
A________B，A________C，{2}________C,2________C.
＝ ∈ [A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，
∴A＝B，AC，{2}C,2∈C.]
7．已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝{x|xc}，则c＝________.
5 [∵A＝{x|25，
又a∈{a|a>c}，∴c＝5.]
8．已知A＝{x|－3a}，A?B，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤－3} [在数轴上画出集合A，
又∵A?B，∴a<－3，
当a＝－3时也满足题意，∴a≤－3.]
三、解答题
9．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求实数c的值．
[解] 若?a＋ac2－2ac＝0，
所以a(c－1)2＝0，即a＝0或c＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当c＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去．
若?2ac2－ac－a＝0.
因为a≠0，所以2c2－c－1＝0，
即(c－1)(2c＋1)＝0.
又c≠1，所以只有c＝－.
经检验，此时A＝B成立．
综上所述，c＝－.
10．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0}．
(1)若A≠?，求实数a的取值范围；
(2)若B＝{－1,4}，且A?B，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，
A＝≠?，即a＝0符合题意；
当a≠0时，有Δ＝9＋16a≥0，
解得a≥－且a≠0，
综上得：a的取值范围为.
(2)由A?B＝{－1,4}知：
当a＝0时，A＝B，不合题意，舍去；
当a≠0时，若Δ＝9＋16a<0，
即a<－时，A＝?，符合题意；
若Δ＝9＋16a＝0，A＝ B，不合题意，舍去；
若Δ＝9＋16a>0，知－1,4为方程ax2－3x－4＝0的两个根，所以－1＋4＝，即有a＝1.
综上得：a的取值范围为.
[等级过关练]
1．若?{x|x2≤a，a∈R}，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＞0
C．a≤0 D．a＜0
A [∵?{x|x2≤a，a∈R}，
∴{x|x2≤a，a∈R}≠?，
∴a≥0，故选A.]
2．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{x|x＜2}，若A?B，则以实数a为元素的集合是( )
A．{a|a≤0} B．{a|a＜2}
C．{a|0≤a≤2} D．{a|0＜a＜2}
B [(1)当a≤0时，A＝{x≤a}，用数轴表示满足A?B，故a≤0；
(2)当a＞0时，由A?B可得a＜2，故0＜a＜2.
综上，以实数a为元素的集合是{a|a＜2}．]
3．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}，若Q?P，则实数m＝________.
0或－或 [由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}．
当m＝0时，方程mx－1＝0无解，此时Q＝?，满足题意；
当m≠0时，方程mx－1＝0的解为x＝，此时Q＝.
∵Q?P，
∴＝－3或＝2，
解得m＝－或m＝.
综上，实数m的值为0或－或.]
