1.2.2 集合的运算
第1课时 交集、并集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解两个集合交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)
1.通过交集、并集运算的学习，培养数学运算素养.
2.借助交集、并集运算性质及应用的学习，提升学生的逻辑推理素养.
1．交集
2．并集
3．交集与并集的运算性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩?＝?
A∪?＝A
A?B?A∩B＝A
A?B?A∪B＝B
思考：集合的交、并运算中应注意哪些事项？
[提示] (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取到与否．
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
B [M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．]
2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
B [∵－1,0∈B,1?B，∴A∩B＝{－1,0}．]
3．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B等于________．
{x|x≤2} [借助于数轴分别画出集合A，B，如图
∴A∪B＝{x|x≤2}．]
4．已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝________.
{x|－1＜x＜1} [M∩N＝{x|－1＜x＜3}∩{x|－2＜x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．]
求交集
【例1】 (1)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( )
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}
(2)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
[思路探究] (1)欲求A∩B，只需将A，B用数轴表示出来，找出它们的公共元素，即得A∩B.
(2)用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可．
(1)C (2)B [(1)A＝{x|2
5}，
如图：A∩B＝{x|2(2)∵A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集．
∴A∩Z＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．]
求集合交集的注意点
?1?求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.
?2?在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.
1．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}
C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}
B [∵集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，∴A∩B＝{x|－2≤x＜4}，故选B.]
求并集
【例2】 (1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
(2)已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，则A∪B＝________.
(1)5 (2){x|x≤－2或x＞1} [(1)因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，共5个元素．
(2)将x≤－2或x＞5及1＜x≤7在数轴上表示出来．
根据并集的定义，图中阴影部分即为所求，
∴A∪B＝{x|x≤－2或x＞1}．]
求解集合并集的类型与方法,解此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合.
?1?若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；
?2?若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.
2．(1)设集合A＝，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∪B＝( )
A．{x|－1≤x<2} B.
C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2}
(2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝( )
A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
(1)A (2)C [(1)利用数轴分别画出集合A、集合B.如图：
∴A∪B＝{x|－1≤x<2}，故选A.
(2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}．
]
并集、交集的运算性质及应用
[探究问题]
1．设A、B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有什么关系？
提示：A∩B＝A?A∪B＝B?A?B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A?B三者为等价关系．
2．若A?B，那么集合A是否可能为空集？
提示：因为空集是任何集合的子集，所以集合A有可能为空集．
3．集合{x|x2＋2x－a＝0}是否可能为空集，如果可能是空集，求出实数a的取值范围，若不可能，说明理由？
提示：集合{x|x2＋2x－a＝0}可能为空集．当方程x2＋2x－a＝0的判别式Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，方程x2＋2x－a＝0无解，则集合{x|x2＋2x－a＝0}为空集．
【例3】 已知集合A＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
[思路探究] 画数轴表示集合?进行运算?求m范围．
[解] (1)由A∩B＝B，可得B?A.
当B＝?即m－1>2m＋1，m<－2时，满足B?A；
当B≠?时，若满足B?A，
则
解得2≤m≤3，
综上所述，m的取值范围是{m|m<－2或2≤m≤3}．
(2)由A∪B＝B可知A?B，根据题意，集合B非空，则
解得m∈?.即满足条件的实数m不存在，所以m∈?.
(改条件)本例中将条件改为A∩B＝?，求实数m的取值范围．
[解] 当B＝?，即m－1>2m＋1，m<－2时满足A∩B＝?.
当B≠?，若满足A∩B＝?，则或
解得m>8或－2≤m<0.
综上所述，m的取值范围是{m|m<0或m>8}．
求集合中含参数问题的两种方法和一个注意点
?1?两种方法.
①借助结论：A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B；
②利用集合的运算性质：化简集合之间的关系，有利于准确了解集合之间的联系.
?2?一个注意点.,集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时，要考虑B＝?的情形，切不可漏掉.
3．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝，B∪C＝C?B?C，∴－<2，解得a>－4.所以实数a的取值范围是{a|a>－4}．
1．本节课的重点是并集、交集的概念及运算，难点是并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)交集、并集求解方法及关注点．
(2)利用交集、并集的性质求解参数的方法．
3．本节课的易错点是由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.
1．思考辨析
(1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合中元素个数之和．( )
(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．( )
(3)若A∩B＝C∩B，则A＝C.( )
[解析] (1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．
(2)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．
(3)×.设A＝{0,1}，B＝{1}，C＝{1,2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{2,3} B．{0,1}
C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}
A [因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.]
3．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.
R {x|4≤x＜5} [在数轴上分别表示集合A与B.
由数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．]
4．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
[解] 因为A∩B＝C＝{－1,7}，所以7∈A，
所以x2－x＋1＝7，
即x2－x－6＝0，
解得x＝－2或3，
当x＝－2时，B＝{2y，－4,2}，不满足A∩B＝C，不符合题意；
所以x＝3，此时B＝{2y，－4,7}，
故2y＝－1，y＝－，
所以x＝3，y＝－.
所以A∪B＝{2，－1,7}∪{－1，－4,7}＝{－1，－4,2,7}．
课件42张PPT。第一章 集 合1.2 集合之间的关系与运算
1.2.2 集合的运算
第1课时 交集、并集23456B∩AB∪AAA?AAB78910111213求交集1415161718求并集192021222324并集、交集的运算性质及应用2526272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 补集及其综合应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易错点)
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3.熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)
1.通过补集概念学习，培养学生的数学抽象素养.
2.借助补集的综合运算及其应用，提升学生的逻辑推理素养.
1．全集的概念及符号表示
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
全集通常用U表示．
2．补集及其性质
(1)定义
(2)性质：对于任意集合A有，
A∪?UA＝U.
A∩?UA＝?.
?U(?UA)＝A.
思考：怎样用Venn图解释“?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)”的正确性？
[提示] 用Venn图表示?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)：
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则?UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
A [因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以?UM＝{2,4,6}．]
2．全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么?UP＝( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
D [因为U＝R，P＝{x|－1≤x≤1}，所以?UP＝{x|x＜－1或x＞1}．]
3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
5 [因为A＝{3,4，m}，B＝{3,4}，则?AB＝{m}，又?AB＝{5}，故m＝5.]
4．已知集合A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1,1，－3,3}，?UB＝{－1,0,2}，则集合B＝________.
{－3,1,3,4,6} [因为U＝A∪?UA＝{0,2,4,6}∪{－1，1，－3,3}＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}，
又?UB＝{－1,0,2}，
所以B＝{－3,1,3,4,6}．]
求补集
【例1】 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则?UA＝( )
A．? B．{1,3,6,7}
C．{2,4,6} D．{1,3,5,7}
(2)已知全集U＝{x|x>0}，?UA＝{x|1[思路探究] (1)根据补集的定义求解；
(2)利用补集的性质求解．
(1)B (2){x|02} [(1)∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则由集合的补集的定义可得?UA＝{1,3,6,7}，故选B.
(2)A＝?U(?UA)＝{x|02}．]
如果全集及其子集是用列举法表示的，可根据补集的定义求解，如果较为复杂，还可借助于Venn图求解；如果全集及其子集是用不等式表示的，常借助于数轴求解.
1．设全集U＝{1,2,3,4}，且M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{2,3}，则实数p的值为( )
A．－4 B．4 C．－6 D．6
B [由全集U＝{1,2,3,4}，?UM＝{2,3}，得到集合M＝{1,4}，即1和4是方程x2－5x＋p＝0的两个解，则实数p＝1×4＝4.]
2．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
2 [∵A∪?UA＝U，且A∩?UA＝?，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.]
集合并、交、补集的综合运算
【例2】 (1)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{0,1,2} B．{0,1}
C．{1,2} D．{1}
(2)已知集合A＝{x|x≥－2}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则集合?RB∩A＝________.
[思路探究] (1)由图观察阴影部分所代表的集合，然后求解．
(2)先求?RB，借助于数轴求解；
(1)C (2){x|x>2} [(1)由题意，阴影部分表示A∩?UB.
因为?UB＝{x|x<3}，
所以A∩?UB＝{1,2}．
(2)因为B＝{x|－2≤x≤2}，所以?RB＝{x|x<－2或x>2}，?RB∩A＝{x|x>2}．]
1．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．
2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．
3．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
B [画出Venn图，阴影部分为M∩?UN＝{2,4}，
∴N＝{1,3,5}．]
根据补集的运算求参数的值或范围
[探究问题]
1．如果“全集U＝R，a∈?UB”，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈A∩?UB”意味着什么？
提示：如果“a∈?UB”，那么a?B.“a∈A∩?UB”意味着a∈A且a?B.
2．是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA，U＝R？若集合A＝{x|－2提示：不存在．若集合A＝{x|－23}．
【例3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩?UA＝{2}，A∩?UB＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
(2)已知集合A＝{x|2a－2[思路探究] (1)由条件可判断元素2和4所在的集合，代入到对应的方程中，解方程组可以解出实数a，b的值．
(2)求出?RB，根据A?RB，列出不等式组，可求a的取值范围．
[解] (1)∵B∩?UA＝{2}，∴2∈B，但2?A.∵A∩?UB＝{4}，∴4∈A，但4?B.
∴解得
∴a，b的值分别为，－.
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A?RB，∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}．
1．已知元素与已知集合补集的关系，一般要转化为元素与该集合的关系求解．
2．已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的取舍．
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[解] 由题意得?RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，
即a≥3，满足B??RA.
(2)若B≠?，
则由B??RA，得
所以－≤a<3.
综上可得a的取值范围为.
补集思想的应用
【例4】 已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值范围．
[思路探究] B∪A≠A说明B不是A的子集，则方程x2＋ax＋a2－12＝0的实数解组成的集合可能出现以下几种情况：①－2是解，4不是解；②4是解，－2不是解；③－2和4都不是解．分别求解十分繁琐，这时我们先由B∪A＝A，求出a的取值范围，再利用“补集”思想求解．
[解] 若B∪A＝A，则B?A，
又因为A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，所以集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，
即a2＞16，∴a＜－4或a＞4.
②当B是单元素集合时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
∴a＝－4或a＝4.若a＝－4，则B＝{2}?A；
若a＝4, 则B＝{－2}?A.
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴
∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，
a的取值范围为{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．
∴满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|－4≤a＜4，且a≠－2}．
[注意] 解答本题过程中，要注意集合B有三种情况，空集及单元素集合很容易漏解．
1．分类讨论时要注意讨论全面，做到标准统一，不重不漏．
2．对于一些比较复杂的问题，难以从正面入手时，应及时调整思路，从问题的反面入手，求出参数范围再求其补集，从而将问题解决．
5．已知集合A＝{y|y>m＋2或y[解] 当A∩B＝?时，如图所示，
则即A∩B＝?时，实数m的取值范围为M＝{m|0≤m≤2}．
而A∩B≠?时，实数m的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数m的取值范围为{m|m<0或m>2}．
1．本节课的重点是全集和补集的概念及运算，难点是交、并、补集的运算及应用，以及数形结合思想的渗透．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求补集的方法及关注点．
(2)交、并、补集综合运算的方法与技巧．
(3)由补集运算求解参数问题的方法．
3．本节课的易错点是求补集时忽视全集而致错.
1．思考辨析
(1)一个集合的补集一定含有元素．( )
(2)集合?ZN与集合?ZN＋相等．( )
(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素．( )
[解析] (1)×.∵?UU＝?，∴(1)错；
(2)×.∵0??ZN，而0∈?ZN＋，∴(2)错；
(3)√.由补集定义知(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设全集为U，A＝{1,2,4,5}，?UA＝{3}，则U等于( )
A．? B．{1,2,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．{3}
C [因为A∪?UA＝U，所以U＝{1,2,3,4,5}．]
3．已知全集U＝{x|x＜3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，则?UA＝________.
{x|2＜x＜3或x＜－1} [画出数轴(图略)，结合补集定义，易知?UA＝{x|2＜x＜3或x＜－1}．]
4．已知全集U＝{小于10的正整数}，A?U，B?U，且(?UA)∩B＝{1,8}，A∩B＝{2,3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,9}．
(1)求集合A与B；
(2)求(?RU)∪[?Z(A∩B)](其中R为实数集，Z为整数集)．
[解] 由(?UA)∩B＝{1,8}，知1∈B,8∈B；
由(?UA)∩(?UB)＝{4,6,9}，知4,6,9?A，且4,6,9?B；
由A∩B＝{2,3}，知2,3是集合A与B的公共元素．
因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以5∈A,7∈A.
画出Venn图，如图所示．
(1)由图可知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,8}．
(2)(?RU)∪[?Z(A∩B)]＝{x|x∈R，且x≠2，x≠3}．
课件49张PPT。第一章 集 合1.2 集合之间的关系与运算
1.2.2 集合的运算
第2课时 补集及其综合应用234U子集56AU?78910111213求补集1415161718集合并、交、补集的综合运算192021222324根据补集的运算求参数的值或范围2526272829303132补集思想的应用33343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 交集、并集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
A [结合数轴(图略)分析可知A∪B＝{x|－1＜x＜3}．]
2．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3，故选C.]
3．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．8
C [由M∪N＝{－1,0,1}，得到集合M?(M∪N)，且集合N?(M∪N)，
又M＝{－1,0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C.]
4．若集合A＝{参加平昌冬季奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加平昌冬季奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加平昌冬季奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．A?B B．B?C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
D [参加平昌冬季奥运会比赛的男运动员与参加平昌冬季奥运会比赛的女运动员构成了参加平昌冬季奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.]
5．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1,4，x}，
∴x2＝x或x2＝4，解得x＝0或x＝±2，满足条件的实数x有0,2，－2，共3个，故选C.]
二、填空题
6．某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．
10 [如图，设两门都得优的人数是x，则依题意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，
整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人．]
7．若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________．
{a|a≥－1} [A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，
由A∩B≠?，得a≥－1.]
8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4 [∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍)，
解得a＝4.]
三、解答题
9．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解] (1)当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又M＝{x|2x－4＝0}＝{2}．
所以M∩N＝{2}∩{1,2}＝{2}，
M∪N＝{2}∪{1,2}＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N，
∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
所以m的值为2.
10．已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x＜1}．
(1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝时，A＝，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．
(2)若A∩B＝?，当A＝?时，有a－1≥2a＋1，
∴a≤－2.
当A≠?时，有
∴－2＜a≤－或a≥2.
综上可得，a的取值范围为.
[等级过关练]
1．已知集合A＝，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B等于( )
A．{x|0＜x＜1或1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|0＜x＜2}
C [∵A＝＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．]
2．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若A∩B＝B，则实数a组成的集合C中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [当a＝0时，由题意B＝?，又A＝{3,5}，B?A，当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B?A，此时＝3或5，则有a＝或a＝，故C＝.]
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤7}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
{m|－1≤m≤3} [∵A∪B＝A，
∴B?A，如图：
∴
∴－1≤m≤3.]
4．设集合A＝{x|－1{a|15．设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，C＝{x|1－2a＜x＜2a}．
(1)若C＝?，求实数a的取值范围；
(2)若C≠?且C?(A∩B)，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝?，
∴1－2a≥2a，∴a≤，
即实数a的取值范围是a.
(2)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠?，∴1－2a＜2a，即a>.
∵A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，
∴A∩B＝，
∵C?(A∩B)，∴
解得课时分层作业(五) 补集及其综合应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝( )
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．?
B [∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}．]
2．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，全集U＝R，则?RA∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
A [因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则?RA∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．]
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{4,6}
C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}
B [全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，
由Venn图可知阴影部分表示的集合为?UA∩B，
∵?UA＝{4,6,7,8}，
∴?UA∩B＝{4,6}．故选B.]
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．?UM∪?UN D．?UM∩?UN
D [∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，
则?UM∩?UN＝{5,6}．故选D.]
5．设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．M∩(P∩?IN)
B．M∩(N∩?IP)
C．M∩(?IN∩?IM)
D．(M∩N)∪(M∩P)
B [由题中的Venn图可得阴影部分的元素属于M，属于N，但不属于P，故阴影部分表示的集合为M∩N∩(?IP)＝M∩(N∩?IP)．]
二、填空题
6．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__________.
{1,2,3} [∵U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，
∴?UB＝{2}，则A∪(?UB)＝{1,2,3}．]
7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩?RB＝________.
{x|3＜x＜4} [∵B＝{x|－1≤x≤3}，
则?RB＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩?RB＝{x|3＜x＜4}．]
8．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A??RB，那么m的取值范围是________．
{m|m≤1} [由B＝{x|x＜2m}，得?RB＝{x|x≥2m}，∵A??RB，∴2m≤2，∴m≤1.]
三、解答题
9．设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}．
求：(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩?A(B∪C)．
[解] A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，?A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，
∴A∩?A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求实数a的取值范围．
[解] 若B＝?，此时?UB＝R，且A??UB；则a＋1>2a－1，所以a<2，
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时?UB＝{x|x2a－1}，
由于A??UB，
如图，
则a＋1>5，∴a>4，
∴实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}．
[等级过关练]
1．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么(?UM)∩(?UN)＝( )
A．? B．{(2,3)}
C．(2,3) D．{(x，y)|y≠x＋1}
B [∵M＝表示直线y＝x＋1去掉点(2,3)．
N＝{(x，y)|y≠x＋1}表示平面内除直线y＝x＋1外的点，又∵(?UM)∩(?UN)＝?U(M∪N)，
而M∪N表示平面内除点(2,3)以外的所有点．
∴?U(M∪N)＝{(2,3)}，综上可知选B.]
2．已知M＝{x|x＜－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩?RM≠?(R为实数集)，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤3} B．{a|a＞－2}
C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}
C [∵全集为R，M＝{x|x＜－2或x≥3}，
N＝{x|x－a≤0}＝{x|x≤a}，又N∩?RM≠?，
∴?RM＝{x|－2≤x＜3}，结合数轴(图略)可知，
当a≥－2时，N∩?RM≠?，故a的取值范围是{a|a≥－2}．]
3．设全集I是实数集R，M＝{x|x＞2或x＜－2}与N＝{x|1＜x＜3}都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为________．
{x|1＜x≤2} [图中阴影部分表示的是N∩?IM，由题易知?IM＝{x|－2≤x≤2}，借助数轴(图略)可知N∩?IM＝{x|1＜x≤2}．]
4．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若?UA∩B＝{2}，?UB∩A＝{4}，则A∪B＝________
{2,3,4} [由?UA∩B＝{2}，得2∈B，则22－5×2＋q＝0，得q＝6，所以B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
同理，由?UB∩A＝{4}，得4∈A，则42＋4p＋12＝0，得p＝－7，所以A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}．
故A∪B＝{2,3,4}．]
5．某班共有学生50人，其中参加数学课外小组的学生有22人，参加物理课外小组的学生有18人，同时参加数学、物理两个课外小组的有13人．
(1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有多少人？
(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少人？
[解] 设全集U＝{该班学生}，A＝{该班参加数学课外小组的学生}，B＝{该班参加物理课外小组的学生}，
则由题意可知U中有50个元素，A中有22个元素，B中有18个元素，
A∩B中有13个元素，画出Venn图如图所示，则A∩?UB＝{该班只参加数学课外小组的学生}，有元素22－13＝9(个)；
B∩?UA＝{该班只参加物理课外小组的学生}，有元素18－13＝5(个)；
A∪B＝{数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生}，有元素5＋13＋9＝27(个)；
?U(A∪B)中含有元素50－27＝23(个)．
(1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有27人．
(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有23人.
