2.1 命题与量词
2.1.1 命题
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解命题的概念，并能判断命题的真假．(重点、易混点)
2.了解命题的构成形式，能把命题改写成“若p，则q”的形式，并能判断其真假．(难点)
1.通过对命题有关概念的理解，培养学生的数学抽象素养.
2.通过对命题真假判断，提升学生的逻辑推理素养.
1．命题的概念
(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假 ”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考1：依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题．
①三角形外角和为360°；
②连接A，B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？
[提示] 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：如何判断一个命题的条件和结论各是什么？
[提示] 将一个命题改写成“若p，则q”的形式判断．
1．下列语句中，不能成为命题的是 ( )
A．8＞15 B．x＜0
C．梯形是四边形 D．三角形三条中线交于一点
B [“x＜0”不能判断真假，故不是命题．]
2．下列命题中，真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若x2＋y2＝0，则xy＝0；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [①②④是假命题，③是真命题．]
3．指出下列命题中的条件p和结论q：
(1)若x<0，则x2<0；
(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
[解] (1)条件p：x＜0，结论q：x2＜0.
(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数.
命题的概念
【例1】 (1)下列语句：
①平行四边形的对角线长度相等吗？
②任何数的算术平方根都是正数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题．
其中是命题的是________(填序号)．
(2)下列语句中是命题的有________(填序号)．
①平行四边形的对角线互相平分吗？
②一个数不是正数就是负数；
③x·y为有理数，则x，y也都是有理数；
④作△ABC∽△A′B′C′.
(1)②③ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句；
②是命题，是假命题，因为0的算术平方根为0；
③是命题，是假命题，例如－＋＝0,0不是无理数；
④不是命题，因为它不是陈述句．
(2)①是疑问句，不是命题．
②是假命题，0既不是正数也不是负数．
③是假命题，如x＝，y＝－.
④是祈使句，不是命题．]
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
1．下列语句中是命题的是________(填序号)．
①求证是无理数；②x∈R，x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④并非所有人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数；⑥如果x＋y和xy都是有理数，那么x，y都是有理数；⑦60x＋9>4.
②④⑤⑥ [①是祈使句，不是命题．②x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以判断此陈述语句的真假，故它是命题．③是疑问句，不是命题．④是命题，人群中有喜欢苹果的人，也有不喜欢苹果的人，所以可判断该陈述语句的真假，故它是命题．⑤是命题，正整数1既不是质数，也不是合数，所以该陈述句为假，所以它是命题．⑥是命题，＋(－)和·(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以该陈述语句为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命题．故填②④⑤⑥.]
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.
[思路探究] 真命题的判断一般需要经过严格的推理论证，而假命题的判断只需举出一个反例即可．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
1．真命题的判定方法
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
2．假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题．
2．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)如果x∈N，则x3＞x2成立；
(3)如果m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
[解] (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
命题结构形式
【例3】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)末位数是0的整数能被5整除；
(2)两个相似三角形是全等三角形；
(3)周长相等的四边形面积相等．
[思路探究] 先确定命题的条件与结论，再改写；若命题中的条件与结论比较隐含，要补充完整．
[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．
(2)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(3)若两个四边形的周长相等，则它们的面积相等，是假命题．
把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.
提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
1．命题
(1)并非任何语句都是命题，只有那些能判断真假的陈述句才是命题；一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；
(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断；
(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题；
(4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可．
2．命题结构形式
(1)“若p，则q”只是命题的一种形式，另外，“如果p，那么q”“只要p，就有q”也是常见的命题形式．
(2)还有一些命题不能写成“若p，则q”的形式，如“某些三角形没有外接圆”．
(3)将含有大前提的命题改写为“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，改写后仍作为大前提，不要写在条件p中．
(4)改写前后命题的真假性不发生变化.
1．思考辨析
(1)“x＞5”是命题．( )
(2)疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．( )
(3)“3＞12”是命题．( )
[解析] (1)×.不能判断真假．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②方程y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等．真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [①当m不为0时，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；
②当a<－1时，方程y＝ax2＋2x－1与x轴没有交点；
③符合集合相等的定义，真命题；
∴选A.]
3．给定下列四个命题，其中正确的是 ( )
①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2；
②若一个三角形为等腰三角形，则它两腰的中线相等；
③若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{3,9}；
④若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{1,3,5}．
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
B [①为假命题，如y＝4，x＝3也符合条件；②正确；③正确；④A∩B＝{3,9}，∴选B.]
4．有下列四个命题：
①若x·y＝0，则x，y中至少有一个为0；②全等三角形面积相等；③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解；④2是合数．
其中真命题是________(填序号)．
①②③ [④中2是质数．]
课件41张PPT。第二章 常用逻辑用语2.1 命题与量词
2.1.1 命题陈述句判断真假陈述句判断真假假真结论条件命题的概念命题真假的判断命题结构形式点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 命题
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列语句中，命题的个数为 ( )
①空集是任何非空集合的真子集；
②起立！
③矩形是平行四边形吗？
④两直线平行，内错角相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]
2．下列命题属于假命题的是( )
A．一条直线有且只有一条垂线
B．不相等的两个角一定不是对顶角
C．直角的补角必是直角
D．两直线平行，同旁内角互补
A [一条直线可能有无数条直线与其垂直．]
3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )
A．四边形是梯形 B．对角线
C．互相平分 D．对角线互相平分
A [命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]
4．下列命题中真命题的个数是 ( )
①正方形的四条边相等；
②圆内接四边形对角互补；
③对角不互补的四边形不内接于圆；
④若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③是真命题，④是假命题，故选C.]
5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m≤1
C．m>1 D．m≥1
C [因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]
二、填空题
6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写序号)．
①等边三角形是等腰三角形；
②若两个三角形的两边和一角对应相等，则这两个三角形全等；
③大角所对的边大于小角所对的边．
①②③ ① [①是命题且是真命题；
②是假命题，两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等；
③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]
7．将命题“当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式．
条件p：________；结论q：________
若x增大 则函数y＝ax＋b的值也增大 [“a>0”是命题的大前提条件，在改写时，前提条件不动，若x增大；则函数y＝ax＋b的值也增大．]
8．能够使“若x为实数，则x－3>2”是假命题的x的取值范围是________．
{x|x≤5} [若x－3>2成立，则x>5，又因为x－3>2是假命题，所以x的取值范围是x≤5.]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1.
[解] (1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．
(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．
(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
10．已知：A：5x－1＞a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
[解] ①若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x＞1”，由命题为真命题，可知≥1，解得a≥4；
②若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”，由命题为真命题，可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可使得利用A，B构造的命题为真命题，例如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
[等级过关练]
1．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
－1，－2，－3(答案不唯一) [“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题，则“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b≤c”是真命题，因此a，b，c的值依次可取－1，－2，－3(答案不唯一)．]
2．住同一房间的四名女生A，B，C，D，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题：
(1)A不在修剪指甲，也不在看书；
(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；
(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；
(4)D不在看书，也不在修剪指甲；
(5)C不在看书，也不在听音乐．
若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？
[解] 由于以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：
A
B
C
D
修剪指甲
不在做
不在做
不在做
看书
不在做
不在做
不在做
梳头发
听音乐
不在做
不在做
由表格看出，C在修剪指甲，B在看书．又由命题(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐，可知A在听音乐，最后我们确定出D在梳头发．
