2.2 基本逻辑联结词
2．2.1 “且”与“或”
(新课标对本节不做要求，略)
2．2.2 “非”(否定)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“p”命题．(重点)
2.了解逻辑联结词“非”的初步应用.
3.掌握全称命题与存在性命题的否定．(难点、易混点)
通过对逻辑联结词“非”的理解，培养学生正确否定某命题的数学抽象、逻辑推理素养.
1．逻辑联结词“非”
(1)命题的否定：一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题p的真假：若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．
思考1：观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；p：5不是25的算术平方根．
(2)q：平行四边形对边互相平行，q：平行四边形对边不互相平行．
[提示] 两组命题中，命题p，q都是命题p，q的否定．
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则p对应集合A在全集U中的补集?UA.
2．全称命题的否定
全称命题p
p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
全称命题的否定是存在性命题
思考2：用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
[提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
3．存在性命题的否定
存在性命题p
p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
存在性命题的否定是全称命题
思考3：对省略量词的命题怎样否定？
[提示] 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C [命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．]
2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．存在x∈R，使得x2<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
A [命题的否定为“存在x∈R，使得x2<0”．]
3．命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否定为________．
[答案] 虽然x2＋y2＝0，但x，y不全为0
4．写出下列命题的否定，并判断它们的否定的真假：
(1)p：3＋4>6；
(2)p：2,3都是8的约数；
(3)p：三角形的内角和等于180°.
[解] (1)p：3＋4≤6，是假命题．
(2)p：2,3不都是8的约数，是真命题．
(3)p：三角形的内角和不等于180°，是假命题.
“p”命题的构成与真假判断
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；
(4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
[思路探究]
[解] (1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．
(4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．
1．一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
有
是
都是
全是
否定词语
不等于 (≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
无
不是
不都是
不全是
正面词语
任意的
任意两个
至少有一个
至多有一个
所有的
至多有n个
或
否定词语
某个
某两个
一个也没有
至少有两个
某些
至少有n＋1个
且
2.当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题p的真假，当命题p为真时，命题p为假，当命题p为假时，命题p为真．
提醒：若命题p是真命题，则p是假命题；若命题p是假命题，则p是真命题．
1．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：若x＝2或x＝－1，则x2－x－2＝0；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)一元二次方程至多有两个解．
[解] (1)p：虽然x＝2或x＝－1，但x2－x－2≠0.命题p是真命题，p是假命题．
(2)p：3≥2.命题p是假命题，p是真命题．
(3)p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，p是假命题．
(4)p：一元二次方程至少有三个解．命题p是真命题，p是假命题.
命题的否定的真假应用
【例2】 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的方程x2＋ax＋a＝0无实根，若“p”与“q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?
解得a≤－1.
命题q：关于x的方程x2＋ax＋a＝0无实根，
则Δ＝a2－4a<0，
解得0
因为“p”与“q”同时为真命题，即p假q真，所以解得0故实数a的取值范围是{a|0由真值表可判断p命题的真假，反之，由p命题的真假也可判断p的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集.
2．已知命题p：|m＋1|≤2成立．命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若p为假命题，q为假命题，求实数m的取值范围．
[解] |m＋1|≤2?－2≤m＋1≤2?－3≤m≤1，
即命题p：－3≤m≤1.
方程x2－2mx＋1＝0有实数根?Δ＝(－2m)2－4≥0?m≥1或m≤－1，
即命题q：m≥1或m≤－1.
因为p为假命题，q为假命题，则p为真命题，q为假命题，所以q：－1由?－1＜m＜1.
即m的取值范围是{m|－1全称命题和存在性命题的否定及应用
[探究问题]
1．全称命题和存在性命题有什么关系？
[提示] (1)结构关系的认识
①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外.
②存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外．
③两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
(2)真假性的认识
全称命题的否定与全称命题的真假性相反；存在性命题的否定与存在性命题的真假性相反．
2．全称命题与存在性命题的否定的关键是什么？
[提示] (1)全称命题的否定
全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键．
(2)存在性命题的否定
存在性命题的否定是一个全称命题，给出存在性命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在性命题否定的关键．
【例3】 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，x2＋1≥0；
(4)某些平行四边形是菱形；
(5)?x∈R,5x2＋1＜0；
(6)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
[思路探究] (1)全称命题的否定是存在性命题，否定全称命题时可分两步：第一步将全称量词“?”改为存在量词“?”，第二步将结论否定．
(2)存在性命题的否定是全称命题，否定存在性命题时可分两步：第一步将存在量词“?”改为全称量词“?”，第二步将结论否定．
[解] (1)命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”．因为0是自然数，所以为真命题．
(2)命题的否定是“存在实数x不是方程5x－12＝0的根”．真命题．
(3)命题的否定是“存在实数x，使得x2＋1＜0”．假命题．
(4)命题的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(5)命题的否定是“?x∈R,5x2＋1≥0”.5x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
(6)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
1．(变换条件)本例(4)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假．
[解] 命题的否定是“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题．
2．(变换条件)本例(4)改为“某些菱形是平行四边形”，写出该命题的否定并判断真假．
[解] 命题的否定是“每一个菱形都不是平行四边形”，由于菱形是平行四边形，所以该命题为假命题．
1．否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质进行否定．否定存在性命题时，首先把存在量词改为全称量词，再对性质进行否定．
2．全称命题和存在性命题的真假性与其否定的真假性相反．
提醒：全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
1．“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．
2．对含有一个量词的命题否定的一般思路
在书写全称命题与存在性命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.
1．思考辨析
(1)全称命题与存在性命题的否定只需否定其结论，无需改写量词．( )
(2)“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋1＜0”．( )
(3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．( )
[解析] (1)×.先更换量词(全称量词换为存在量词，存在量词改为全称量词)，再将结论否定．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知U＝R，A?U，B?U，命题p：∈A∪B，则p是( )
A.?A B.∈?UB
C.∈A∩B D.∈(?UA)∩(?UB)
D [p：?A∪B，即∈(?UA)∩(?UB)，故选D.]
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]
4．写出命题“若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B”的否定是________．
[答案] 虽然集合B真包含集合A，但集合A不包含于集合B
课件45张PPT。第二章 常用逻辑用语2.2 基本逻辑联结词
2.2.2 “非”(否定)234真否定p的否定假56存在性 7全称 8910111213“p”命题的构成与真假判断141516171819命题的否定的真假应用202122232425全称命题和存在性命题的否定及应用26272829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) “非”(否定)
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列语句是存在性命题的是( )
A．正方形都是长方形
B．有的菱形是正方形
C．正六边形的边长都等于它的外接圆半径
D．圆内接四边形对角互补
B [选项A、C、D都是省略了全称量词的全称命题，选项B含有“有的”这一存在量词，故B为存在性命题．]
2．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p”与“q”同时为假命题，则满足条件的x为( )
A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
C [由题意知q真，p假，∴|x－1|＜2，∴－1＜x＜3且x∈Z，∴x＝0,1,2.]
3．下列特称命题中，是假命题的是( )
A．?x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D．某些四边形不存在外接圆
C [A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]
4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．p：?x∈A,2x?B
B．p：?x?A,2x?B
C．p：?x?A,2x∈B
D．p：?x∈A,2x?B
D [全称命题p：?x∈A,2x∈B的否定是把量词“?”改为“?”，并对结论进行否定，即把“∈”改为“?”．
全称命题p：?x∈A,2x∈B的否定是p：?x∈A,2x?B，故选D.]
5．下列命题的否定是假命题的是( )
A．每一个素数都是奇数
B．某些平行四边形是菱形
C．可以被5整除的数，末位是0
D．能被3整除的数，也能被4整除
B [对于A.由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
对于B.由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
对于C.省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.是真命题．
对于D.省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．是真命题．]
二、填空题
6．命题“?x∈R，x2－x＋4≠0”的否定是________．
?x∈R，x2－x＋4＝0 [全称命题的否定为存在性命题．]
7．命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零”的否定为________．
虽然abc＝0，但a，b，c全不为零 [“a，b，c中至少有一个为零”的否定为“a，b，c全不为零”．]
8．已知p：x2－x＝6，q：x∈N.若“p”和“q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
{3} [p：x2－x＝6，∴(x＋2)(x－3)＝0，∴x＝－2或x＝3，
q：x∈N，
又“p”和“q”都是假命题，
∴p与q都是真命题．
同时满足条件p，q的x的集合为{3}．]
三、解答题
9．用量词符号表达下列命题，同时写出其否定形式，并分别判断它们的真假．
①有些梯形的对角线相等；
②所有的方程都不是不等式．
[解] 量词符号表达：①?x∈{梯形}，x的对角线相等(真)；②?x∈{方程}，x不是不等式(真)．
命题的否定形式：①?x∈{梯形}，x的对角线不相等(假)；②?x∈{方程}，x是不等式(假)．
10．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p”与“q”都为真命题，求实数m的取值范围．
[解] 当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
则有
当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16<0，解得－3因p与q都为真，即p为真q为假，
所以解得m≤－3.
故m的取值范围是{m|m≤－3}．
[等级过关练]
1．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
C．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
D．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
D [全称命题的否定是存在性命题，“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)＞n”．]
2．若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≠0”成立，则实数a的取值范围为________．
{a|－1即对应的判别式Δ＝(a－1)2－4<0，即(a－1)2<4，
∴－2