2．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
2．3.1 推出与充分条件、必要条件
2．3.2 命题的四种形式
(新课标对本节不做要求，略)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点)
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点)
3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充分条件、必要条件、充要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养.
2.通过命题间充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
(2)若p?q，但qD/?p，称p是q的充分不必要条件，
若q?p，但pD/?q，称p是q的必要不充分条件．
思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？
[提示] 不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．
2．充要条件
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？
[提示] 是．因为p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充要条件．
1．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [△ABC≌△A′B′C′?△ABC∽△A′B′C′，但由△ABC∽△A′B′C′D?/△ABC≌△A′B′C′.]
4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [命题p：(x－1)(y－2)＝0?x＝1或y＝2.
命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2.
由q?p成立，而由pD/?q.]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)设a，b是实数，p：a＋b>0，q：ab>0.
[解] (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0D?/x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似D?/两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)若p成立，即a＋b>0，取a＝3，b＝－2，
则ab>0不成立，故pD?/q，
若q成立，即ab>0，取a＝－2，b＝－3，
则a＋b>0不成立，故qD?/p，
因此p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
充分条件和必要条件的两种判断方法
?1?定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p是什么，结论q是什么；
②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
③确定条件p和结论q的关系.
?2?集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A＝{x|p?x?}，B＝{x|q?x?}，若A?B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.
提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)A＝{2，a}，B＝{2,3}，p：a＝3，q：A＝B.
(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6.
[解] (1)由a＝3可得A＝{2,3}，由集合相等的定义可得A＝B，当A＝B时，A，B两集合元素完全相同，即a＝3.故p是q的充要条件．
(2)因为：x＝2且y＝6?x＋y＝8，
但x＋y＝8D/?x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件.
充要条件的探求与证明
【例2】 已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[思路探究] 先分清命题的条件和结论，条件是：a＋b＝1，结论是：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[解] 先证充分性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
再证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝a－2＋b2>0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p?q”和“q?p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.,如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p?q”成立，必要性是指“q?p”成立.,而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q?p”成立，必要性是指“p?q”成立.
提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.
2．已知a≥，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.
[解] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝＝，且0<≤1，所以f(x)≤f＝＋c.
先证充分性：
因为c≤，且f(x)≤f＝＋c≤＋＝1，所以得f(x)≤1.
再证必要性：
因为f(x)≤1，所以只需f≤1即可．
即＋c≤1，从而c≤.即结论得证.
利用充分(必要)条件求参数的值(或范围)
[探究问题]
1．p是q的必要不充分条件的等价命题是什么？
[提示] q是p的必要不充分条件．
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？
[提示]
若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
【例3】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路探究]
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qD?/p.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pD?/q.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0
即m的取值范围是{m|0在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.
提醒：要注意对区间端点值的检验.
1．充分、必要、充要条件判断的注意点
(1)在充分、必要条件的推理判断中，要注意挖掘题中隐含的特殊情况，稍不注意就会导致答案错误．
(2)在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念做出准确的判断．
2．利用充分、必要条件求参数的一般思路
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
1．思考辨析
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(3)若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D [可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”．故选D.]
3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [当m＝－2时，y＝x2－2x＋1的图象关于x＝1对称，反之也成立．所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.]
4．下列命题中为假命题的是________．(填序号)
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“A∩B≠?”是“AB”的充分条件；③“b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为R”的充要条件．
①②③ [当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之，例如x＝1，y＝5，x＋y>5，但x<2，故①为假命题；当A＝{1,3}，B＝{1,2}，A∩B＝{1}，但A?B，故②为假命题；ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R等价于故③为假命题．]
课件44张PPT。第二章 常用逻辑用语2.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
2.3.1 推出与充分条件、必要条件234必要充分5必要不充分充分不必要6充分且必要 78910111213充分条件、必要条件、充要条件的判断141516171819充要条件的探求与证明2021222324252627利用充分(必要)条件求参数的值(或范围)28293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 推出与充分条件、必要条件
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设x∈R，则“x＞2”是“|x|＞2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由x＞2?|x|＞2，反之不成立，
故“x＞2”是“|x|＞2”的充分不必要条件．
故选A.]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，为x2<4的一个必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解?Δ＝1－4m≥0?m≤，而m<?m≤，但m≤D?/m<.]
5．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由“p是r的充分不必要条件”，知p?r，但rD?/p；①
由“s是r的必要条件”，知r?s；②
由“q是s的必要条件”，知s?q.③
由①②③可知p?q，从而p是q的充分条件．
假设p是q的必要条件，则q?p，
再由r?s，s?p可得r?p，这与①相矛盾，从而qD?/p.
从而p是q的充分不必要条件．]
二、填空题
6．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
充分不必要 [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，
∴a∈B且a≠1，
∴a＝2或a＝3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．
{a|a≤1} [p：x>1，若p是q的充分条件，则p?q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]
三、解答题
9．已知p：实数x满足3a[解] 由p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，
所以a的取值范围是a≤a<0.
10．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[等级过关练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙D/?丙，如图．综上，有丙?甲，但甲D/?丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈CD/?x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
