(共51张PPT)
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
3.1.2 不等式的性质
*
*
自
主
探
新
知
预
习
*
不等关系
<，≤，>，≥，≠
*
*
a＋c>b＋c
b＜a
a>c
*
ac＞bd
a＞c－b
a＋c＞b＋d
ac＞bc
ac＜bc
*
*
*
*
*
合
作
提
素
养
探
究
*
用不等式(组)表示不等关系
*
*
*
*
*
*
实数大小的比较
*
*
*
不等式的性质应用
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
当
堂
固
双
基
达
标
*
*
*
*
*
*
*
课
时
分
层
作
业
点击右图进入…
Thank you for watching !
如果a-b>0,那么
依据:/如果a-b<0,那么
如果a-b=0,那么
比较两实数a,b
的大小〈结论:确定任意两个实数a,的大小关系,
只需确定
的大小关系
谢谢次赏3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
3.1.2 不等式的性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解不等式的性质．(重点)2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 1.通过不等关系与不等式的学习，培养学生的数据分析素养.2.借助不等式性质的学习，提升学生的逻辑推理素养.
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号<，≤，>，≥，≠.
(2)所表示的关系是不等关系．
2．比较两实数a，b大小的依据
3．常用不等式的重要性质
名称 式子表达
性质1(对称性) a＞b b＜a
性质2(传递性) a>b，b>c a>c
性质3(可加性) a＞b a＋c>b＋c
性质3 推论1 a＋b＞c a＞c－b
推论2 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d
性质4 (可乘性) a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc
性质4 推论1 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
推论2 a＞b＞0 an＞bn(n∈N＋，n＞1)
推论3 a＞b＞0 ＞(n∈N＋，n>1)
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
D [据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.]
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M＝N
C．M
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝＋>0，故M>N.]
3．用不等号填空：
(1)若a>b，则ac2________bc2.
(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.
(3)若a>b，c(4)已知x<1，则x2＋2________3x.
(1)≥ (2)< (3)> (4)> [(1)因为当c2>0时，有ac2>bc2.当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”．
(2)因为a＋b>0，b<0，所以a>0，故应填“<”．
(3)因为c－d，又因为a>b，
所以a－c>b－d，故应填“>”．
(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，则(x－2)(x－1)>0，
即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故应填“>”．]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解] 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
即
1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．
2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
1．如图所示，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．
[解] 由题意，得
实数大小的比较
【例2】 设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.
2．已知x[解] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x0，x－y<0.
∴－2xy(x－y)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).
不等式的性质应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2又∵－6你认为正确吗？为什么？
[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？
∵2又∵－2∴－3这怎么与－2[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 (1)已知－≤a(2)设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
[思路探究] (1)→→
(2)法一：→
法二：→→
→
[解] (1)∵－≤a∴－≤<，－<≤，
∴－≤－<，
∴－≤<.
又a∴－≤<0.
∴的取值范围是－≤<0.
(2)法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是5≤f(－2)≤10.
法二：由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是5≤f(－2)≤10.
1．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．
3．(1)已知12(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
[解] (1)∵15∴12－36∵<<，∴<<，∴<<4.
∴a－b和的取值范围分别是－24(2)证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd>0，两边同除以bd得，≤.
1．本节课的重点是不等式的性质及两个数(式)的大小比较问题，难点是利用不等式(组)表示不等关系．
2．要熟练掌握常见的文字语言与数学语言之间的转换．
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于或等于 ≥ 不少于 ≥
小于或等于 ≤ 不多于 ≤
3.本节课要重点掌握的规律方法
(1)比较两个代数式(数)的大小．
(2)利用不等式的性质求取值范围．这也是本节课的易错点．
1．思考辨析
(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.( )
(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.( )
(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(4)若a[解析] (1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，故此说法正确．
(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．
(3)√.因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(4)√.因为不等式a≤b表示a[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5
C．M≥－5 D．M≤－5
A [M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.
故M>－5.]
3．已知－1<2x－1<1，则－1的取值范围是________________．
－1>1 [－1<2x－1<1 01 >2 －1>1.]
4．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)若a>b>0，c.
[解] (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
(2)证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
1课时分层作业(十) 不等关系与不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
C [由题知，x>0，y>z，z<0，所以xy>xz.]
2．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.＜ B.＞
C.＜ D.＞
B [变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
加糖之前糖水的浓度为，
加糖之后糖水的浓度为，
故>.]
3．已知x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
B [因为x所以－x>－a>0，
所以(－x)2>(－a)(－x)>(－a)2，
即x2>ax>a2.]
4．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
C [对A，若a>0>b，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
5．若1A．－3C．－3C [∵－4∴0≤|b|<4，
∴－4<－|b|≤0.
又∵1∴－3故选C.]
二、填空题
6．如果a，b，c满足c①ab>ac；②c(b－a)>0；③cb2③ [c0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，③不成立．]
7．给出以下四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能得出<成立的是________．
①②④ [由<，可得－<0，即<0，
故①②④可推出<.]
8．某杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2 000本，若把提价后杂志的单价设为x元，表示销售的总收入不低于20万元的不等式为________．
x≥20 [由题意，知销售的总收入为x万元，所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.]
三、解答题
9．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b>0且c>d>0，则>；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
[解] (1)错， <，但推不出a>b.
(2)对， >>0 >成立．
(3)错，当a＝1，b＝－1时不成立．
(4)错，如：a＝c＝1，b＝d＝－2时不成立．
10．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．
[解] 设A，B两地路程为2s，甲车走完A地到B地的路程所用的时间为t1，则a＋b＝2s，t1＝，乙车走完A地到B地的路程所用的时间为t2，则t2＝＋，又t1－t2＝－－＝＝<0(∵a≠b，a>0，b>0)，∴t1[等级过关练]
1．如果－1A.<C.<A [∵－1∴<<0,1>a2>b2>0，
∴<<02．设0A．0<2a－< B．－<2a－<
C．0<2a－<1 D．－<2a－<1
D [0<2a<1,0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－<2a－<1.]
3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>，这五个式子中，正确的是________．(填序号)
②④ [令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．]
4．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．
≥1－a [由|a|<1，得－1∴1＋a>0,1－a>0.
即＝.
∵0<1－a2≤1，∴≥1，
∴≥1－a.]
5．已知函数y＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
[解] ∵y＝ax2－c，∴
∴
∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)，
又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
∴≤－f(1)≤，①
－≤f(2)≤.②
把①②的两边分别相加，
得－1≤f(2)－f(1)≤20，
即－1≤f(3)≤20.
3