3.2 均值不等式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解均值不等式的证明过程.
2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)
3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)
1.通过均值不等式的证明过程的学习，体现了学生的逻辑推理的素养.
2.借助利用不等式求最值的学习，培养学生的数学运算的素养.
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．
2．均值不等式≤
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；
(2)均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．
4．用均值不等式求最值的规律
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
1．若x>0，则x＋的最小值是( )
A．2 B．3 C．2 D．4
D [∵x>0，∴>0，∴x＋≥2＝4.当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．]
2．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
3．若0
A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
B [a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
∵0∴a2＋b2最大．]
4．若x>0，y>0且x＋y＝1，则xy的最大值为________．
[当x>0，y>0时，
x＋y≥2，
∴xy≤＝.
当且仅当x＝y＝时，等号成立．]
利用均值不等式比较大小
【例1】 (1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)A (2)p>q [(1)∵a>2，∴a－2>0.又m＝a＋＝(a－2)＋＋2，∴m≥2＋2＝4，即m≥4.由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴0n.
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.]
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
1．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．
[解] ∵a>0，b>0，∴＋≥，
即≥(当且仅当a＝b时取等号)，
又2＝
≤＝，
∴≤(当且仅当a＝b时等号成立)，
而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立).
不等式的证明
【例2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
[证明] ＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”．可尝试用均值不等式证明．
2．利用均值不等式证明不等式的策略
从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
3．利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
[证明] 法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋.
故＝＝
5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．
法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤2＝，于是≥4，≥8.
因此≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
均值不等式的实际应用
【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴0∵00.∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
1．在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
2．对于函数y＝x＋(k>0)，可以证明x∈{x|03．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
[解] (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为＝－2
≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.
利用均值不等式求最值
[探究问题]
1．由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？
[提示] 最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．
2．小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：
“因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
[提示] 不正确．因为利用均值不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y＝x＋的最小值是2；当x<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
3．已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
“解：∵y＝＝x＋≥2＝4，
∴当x≥3时，y＝的最值为4.”
[提示] 不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋的单调性求解．
【例4】 (1)若x<0，求y＝＋3x的最大值；
(2)若x>2，求y＝＋x的最小值；
(3)已知0(4)已知x>1，求函数y＝的最小值．
[解] (1)因为x<0，所以y＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以y的最大值为－12.
(2)因为x>2，所以x－2>0，y＝＋x－2＋2≥
2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以y的最小值为4.
(3)因为00，y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以y的最大值为.
(4)因为x>1，所以x－1>0.设t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，所以y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时等号成立，所以y的最小值为2＋2.
1．本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形．
2．应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
3．利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．
4．(1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
(1)B (2)9 [(1)∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立．∴m≤9.故应选B.
(2)由题意得＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．]
1．本节课的重点是利用基本不等式求最值，难点是基本不等式在实际问题中的应用．
2．本节课重点掌握的规律方法
(1)由基本不等式变形得到的常见的结论
①ab≤2≤；
②≤≤(a>0，b>0)；
③＋≥2(a，b同号)；
④(a＋b)≥4(a>0，b>0)；
⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项
①利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
“一正”——各项为正数；“二定”——“和”或“积”为定值；“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
③在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值.
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.( )
(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(5)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.( )
(6)当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.( )
[解析] (1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)×.只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．
(3)√.因为≤，所以ab≤.
(4)×.因为不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；而≥成立的条件是a，b均为非负实数．
(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
(6)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数f(x)取到最小值3.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [由a＋b＝2，得ab≤＝1，排除选项A，B.由≥，得a2＋b2≥2.]
3．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
ab≥9 [∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9.]
4．(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(2)设0[解] (1)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)∵00，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
课件63张PPT。第三章 不等式3.2 均值不等式234a＝b≥a>0，b>05最大值大于或等于最小值6789101112利用均值不等式比较大小131415161718不等式的证明19202122232425均值不等式的实际应用262728293031323334利用均值不等式求最值35363738394041424344454647484950515253545556575859606162点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 均值不等式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
A [正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．又4＝cd≤2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，等号成立．
综上，ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值都为2.]
2．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
D [对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；
对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；
对于D，因为ab>0，所以>0，>0，
所以＋≥2，即＋≥2恒成立．]
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最大值为( )
A．1 B．3 C. D．4
A [＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立．]
4．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
5．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
二、填空题
6．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
①②③ [由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，
∴≥4，当且仅当a＝1且b＝1时等号成立．故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，故(a＋b)·≥4，当且仅当a＝b时等号成立．故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．]
7．已知0 [由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．]
8．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
1 760 [设水池的造价为y元，长方体底面的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·
＝480＋320≥480＋320·2＝1 760(元)．
当且仅当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．]
三、解答题
9．(1)已知x<3，求y＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
[解] (1)∵x<3，∴x－3<0，
∴y＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴y的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)法一：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
法二：因为x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，所以xy＝2x＋8y≥2，所以xy≥8，所以≥8，xy≥64.当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立，所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[等级过关练]
1．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [y＝＝，
又∵－40.
故y＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥4 B．m≤－4或m≥2
C．－2D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－43．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
4．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
①③④ [ab≤＝1，故①正确；(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋a＋b＝4，故＋≤2，②不正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×2＝2，故③正确；＋＝(a＋b)＝≥(2＋2)＝2，故④正确．]
5．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N＋)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
[解] (1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
每辆车总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)
＝200＋x(x＋1)·16(万元)．
∴y＝4
＝16(－2x2＋23x－50)(x∈N＋)．
(2)年平均利润为
＝16＝16.
又x∈N＋，∴x＋≥2＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
