3.3 一元二次不等式及其解法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)
2.能根据三个“二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
1.通过一元二次不等式解法的学习，体现了学生逻辑推理的素养.
2.借助三个“二次”之间关系的研究，提升学生的直观想象的素养.
1．一元二次不等式的概念
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
4．三个“二次”之间的关系
5.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?.
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?.
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥y恒成立?k≥ymax；k≤y恒成立?k≤ymin.
1．函数y＝的定义域是( )
A．{x|x<－4或x>3}
B．{x|－4
C．{x|x≤－4或x≥3}
D．{x|－4≤x≤3}
C [要使函数有意义，则需x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3.
所以原函数的定义域为{x|x≤－4或x≥3}．]
2．下列不等式中，解集是R的是( )
A．x2＋2x＋1>0 B.>0
C．x2＋x＋1>0 D.－2<
C [x2＋2x＋1>0的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
>0的解集为{x|x∈R且x≠0}；
－2<的解集为{x|x∈R且x≠0}；
只有x2＋x＋1>0的解集为R.]
3．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．
MN [因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0N＝{x|x2<4}＝{x|－24．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x解不含参数的一元二次不等式(组)
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0.
[思路探究] 利用一元二次不等式的解法求解．
[解] (1)法一：Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
法二：原不等式可化为(2x－1)(x＋3)<0，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
① ② ③
(3)法一：∵Δ＝0，∴方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根，即x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图③所示．
由图可得原不等式的解集为.
法二：原不等式可化为(2x－1)2>0，所以原不等式的解集为.
1．利用相应一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下：
一元二次不等式，a为正值来定形；
对应方程根求好，心中想想抛物线；
大于异根两边倒，小于异根夹中间；
大于等根根去掉，小于等根空集成；
大于无根取全体，小于无根不可能；
不等式若带等号，想想图象便知晓！
2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
1．解下列不等式：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)(5－x)(x＋1)≥0.
[解] (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
[思路探究] →→
[解] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
(3)当a<0时，x1综上所述，原不等式的解集为：
a>0时，{x|－aa＝0时，x∈?；
a<0时，{x|2a1．含参数的不等式的解题步骤
(1)将二次项系数转化为正数；
(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．
2．解含参数的一元二次不等式
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0或小于0或等于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为.
不等式恒成立问题
【例3】 设y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于1≤x≤3，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则?－4∴m的取值范围为{m|－4(2)法一：要使y<－m＋5恒成立，就要使m2＋m－6<0,1≤x≤3.
令g(x)＝m2＋m－6,1≤x≤3.
当m>0时，抛物线开口向上，在1≤x≤3上g(x)图象在x＝的右侧，是递增的，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.
∴7m－6<0，解得m<.
∴0当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，抛物线开口向下，在1≤x≤3上g(x)图象在x＝的右侧，是递减的．
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围为.
法二：y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，
∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．
a≥y恒成立?a≥ymax(y存在最大值)；
a≤y恒成立?a≤ymin(y存在最小值)．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．
3．已知函数y＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当－2≤x≤2时，y≥a恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)y≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.
∴a的取值范围为{a|－6≤a≤2}．
(2)y＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，ymin＝f(－2)＝－2a＋7，
由－2a＋7≥a，得a≤，故无解．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
ymin＝f＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.
故－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，故－7≤a<－4.
综上可得－7≤a≤2.
一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0，y<0，y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
[提示] y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例4】 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[思路探究] 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．
[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集是，知a＜0, 又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝.∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a.
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0.
所求不等式的解集为.
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝，知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
其中＝，－＝＝＝＋，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式?如ax2＋bx＋c＞0?的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
?1?根据解集来判断二次项系数的符号；
?2?根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
?3?约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图①.根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图②.根据图象可得不等式的解集为?.
1．本节课的重点是一元二次不等式的解法及三个“二次”关系的应用及不等式恒成立问题．难点是解含参数的一元二次不等式，也是本节的易错点．
2．本节课要重点掌握的规律方法．
(1)解一元二次不等式的常见方法
①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
(ⅲ)由图象得出不等式的解集．
②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
(2)含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
②关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．
1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解．( )
(4)x2－>0为一元二次不等式．( )
[解析] (1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；
当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确．
(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有，故该说法错误．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
A [因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.]
3．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1－1 1 [由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得
解得a＝－1，b＝1.]
4．求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
[解] (1)由x2－5x>6，得
x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
方程(2x－1)2＝0的根为x＝，
∴4x2－4x＋1≤0的解集为.
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为
{x|1课件69张PPT。第三章 不等式3.3 一元二次不等式及其解法2342一个5解集未知数的值解集合67k≤ymink≥ymax8910111213解不含参数的一元二次不等式(组)14151617181920212223解含参数的一元二次不等式24252627282930不等式恒成立问题31323334353637383940一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系41424344454647484950515253545556575859606162636465666768点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 一元二次不等式及其解法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面所给关于x的不等式：
①2x＋3<0；②x2＋mx＋1>0；③ax2＋3x－7>0；④x2－1<0.
其中一定是一元二次不等式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [①2x＋3<0是一元一次不等式；
②x2＋mx＋1>0是一元二次不等式；
③当a＝0时，ax2＋3x－7>0是一元一次不等式，当a≠0时，ax2＋3x－7>0是一元二次不等式；
④x2－1<0是一元二次不等式．
所以一定是一元二次不等式的是②④.]
2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
D [二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要]
3．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
C [由题知解得]
4．不等式＜1的解集是( )
A．{x|x<－1或x>1} B．{x|x>1}
C．{x|x<－1} D．{x|－1A [∵＜1，∴－1＝＜0，即＞0，∴(x－1)(x＋1)＞0，解得x＞1或x＜－1，∴不等式＜1的解集为{x|x<－1或x>1}．]
5．若函数y＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－22}
C．{a|a≤－2或a≥2} D．{a|－2≤a≤2}
D [由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.]
二、填空题
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
{x|－40得x2＋3x－4<0，解得－47．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
{m|m<0} [∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为
，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}．]
8．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．
{m|m≥9} [∵
∴m≥9.]
三、解答题
9．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0(a∈R)．
[解] Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
x)或x>(－a＋)；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
[等级过关练]
1．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是( )
A．{a|－11}
C．{a|－21}
C [令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，
∴a2＋a－2<0，∴－22．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．{k|－3C．{k|－3≤k≤0} D．{k|－3D [当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，
则解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是{k|－33．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是x≤x≤－，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．
{x|24．若0＜a＜1，则不等式(a－x)＞0的解集是________．
[原不等式为(x－a)＜0，
由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]
5．已知y＝x2＋2(a－2)x＋4.
(1)如果对一切x∈R，y>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得对任意－3≤x≤1，y<0恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
[解] (1)由题意可知，
只有当y＝x2＋2(a－2)x＋4与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，
则方程x2＋2(a－2)x＋4＝0应满足Δ<0，即4(a－2)2－16<0，解得0(2)若对任意－3≤x≤1，y<0恒成立，则满足题意的y＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．由图象可知，
此时a应该满足
即
解得
这样的实数a是不存在的，
所以不存在实数a满足：对任意－3≤x≤1，f(x)<0恒成立．
