3.4 不等式的实际应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据实际情景建立不等式模型．(难点)
2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤．(重点)
1.通过利用不等式解决实际应用题的学习，培养学生的数学建模素养.
2.借助不等式解决不同类型的实际应用问题，提升学生的数据分析素养.
1．重要结论
若b>a>0，m>0，则>.
另外，若a>b>0，m>0，则有<成立．
2．不等式解决实际问题的步骤
(1)设未知数：用字母表示题中的未知数．
(2)列不等式(组)：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解不等式(组)：运用不等式知识求解不等式，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)答：规范地写出答案．
1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C [由题意可得25x－y＝0.1x2＋5x－3 000≥0，
即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，
所以150≤x<240，x∈N.]
2．有如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．
图①广告牌面积大于图②广告牌面积 a2＋b2>ab[图①广告牌面积大于图②广告牌面积．设图①面积为S1，则S1＝＋，图②面积为S2，则S2＝ab，∴a2＋b2＞ab.]
3．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
8(x＋19)>2 200 >9 [原来每天行驶x km，
现在每天行驶(x＋19) km.
则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，
写成不等式为8(x＋19)>2 200.
若每天行驶(x－12) km，
则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.]
利用比较法解决实际生活问题
【例1】 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p>q>0，
方案
第一次(提价)
第二次(提价)
甲
p%
q%
乙
q%
p%
丙
(p＋q)%
(p＋q)%
经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
[解] 设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲，N乙，N丙，则
N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，
N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，
N丙＝a
＝a2.
显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a2与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．
N甲－N丙＝a
＝(2pq－p2－q2)
＝－(p－q)2<0.
∴N丙>N甲，
∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．
比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.
1．有一批货物的成本为A元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由．
[解] 若本月初出售到下月初获利为m元，下月初出售获利为n元．则m＝100＋(100＋A)·2%
＝102＋0.02A.
n＝120－5＝115，故n－m＝13－0.02A，令n－m＝0，得A＝650.
①当A＝650元时，本月初、下月初出售获利相同．
②当A>650元时，n－m<0即n③当A<650元时，n>m，下月初出售好．
一元二次不等式的实际应用
【例2】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0不等式应用题常以函数为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．
2．某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0故所求花卉带宽度的范围为0均值不等式的实际应用
[探究问题]
1．某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定为1米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y之间有何关系？你能建立仓库底面积S与x，y之间的关系吗？
[提示] x与y之间的关系为40x＋2×45y＋20xy≤3 200，S与x，y间的关系为S＝xy.
2．在探究1中若要求S的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S的最大值？
[提示] 在S＝xy中含两个变量x，y，而x，y满足40x＋90y＋20xy≤3 200，利用该关系不能将S表示为关于x或只关于y的函数，故不能用求函数最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解．
解：设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy≤3 200.
由均值不等式，得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，∴S＋6≤160，
即(＋16)(－10)≤0.
∵＋16＞0，
∴－10≤0，∴S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
【例3】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
[思路探究] 平均每天所支付的总费用＝，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解．
[解] (1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为Y1元，则
Y1＝＋1 800×6
＝9x＋＋10 809
≥2 ＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)设该厂利用此优惠条件后，每x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每＝35天购买一次面粉，即x≥35.
设平均每天支付的总费用为Y2元，则
Y2＝＋1 800×6×
＝9x＋＋9 729(x≥35)，
记f(x)＝x＋，x≥35，
设x1≥35，x2≥35，取x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝，
∵35≤x1100，
∴x1－x2<0，x1x2－100>0，
∴<0，f(x1)－f(x2)<0，
∴函数f(x)＝x＋在x≥35上是增函数，
∴当x≥35时，f(x)min＝f(35)．
∴当x＝35时，Y2有最小值，此时Y2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件．
求实际问题中最值的一般思路：
?1?先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式.
?2?把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
?3?在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.
?4?正确写出答案.
3．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需要购买游泳卡外，每次还要包1辆车，无论乘坐多少名乘客，包车费均为40元，若使每位同学游泳8次，每人需至少交多少钱？
[解] 法一：设购买x张游泳卡，活动总开支为y元，则购买游泳卡需240x元，48名同学每人游8次，共48×8次．但游泳卡只有x张，则每批只有x人参加，共需分批，故包车费为元，
∴y＝240x＋×40＝240.
∵x>0，∴x＋≥2＝16，∴y≥3 840.
当且仅当x＝，即x＝8时，取等号．
3 840÷48＝80(元)．
∴每人需至少交80元．
法二：设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，每批去人，需购买游泳卡张．
∵n>0，∴y＝40n＋×240＝40≥40×2＝40×2×48＝3 840，
当且仅当n＝，即n＝48时，取等号.3 840÷48＝80(元)．
∴每人需至少交80元．
1．本节课的重点和难点是一元二次不等式的实际应用．
2．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
3．利用均值不等式来解决函数的最值或值域问题时，一定要弄清从实际问题中抽象出函数模型的结构形式及其定义域，若不具备运用均值不等式的形式，则可考虑能否先变形再应用．另一个重要问题是使用均值不等式时一定要注意能否取得等号，如果不能取得等号，那么可考虑用函数的单调性处理.
1．思考辨析
(1)若b>a>0，m>0，则有<成立．( )
(2)根据调查，某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n＝1,2，…，12)，其近似地满足f(n)＝e(13n－22－n2)(e＝2.718…)，为了获取一年的最大利润，那么该产品每年只要生产7个月即可．( )
(3)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，则当这艘轮船以40海里/小时的速度航行时，费用总和取得最小值．( )
[解析] (1)∵－＝＝，
又∵b>a>0，m>0，∴b(b＋m)>0，a－b<0.
∴－<0，即>，故(1)错；
(2)由f(n)≥0可知－n2＋13n－22≥0，
即(n－2)(n－11)≤0，解得2≤n≤11.
所以为获得一年的最大利润，该产品每年只要生产8个月，故(2)错；
(3)设轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费为u，速度为v，则u＝kv2.
∵当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．∴6＝100k，则k＝.
∴u＝v2，再设轮船匀速行驶10海里的总费用为y，则y＝·＝v＋≥2＝48.
当且仅当＝，即v＝40时取等号．
∴这艘轮船的速度为40海里/小时时，费用总和最少．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
C [设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.]
3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________．
{x|20由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，
即x2－50x＋600<0，解得20所以，当矩形一边的长在204．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内．
[解] (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)．
整理得，y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1)．
(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，
必须有：
即
∴0＜x＜，所以投入成本增加的比例应在0课件56张PPT。第三章 不等式3.4 不等式的实际应用234<>5未知数在实际问题中的取值范围设未知数列不等式(组)解不等式(组)678910111213利用比较法解决实际生活问题141516171819一元二次不等式的实际应用202122232425均值不等式的实际应用262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 不等式的实际应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
C [设底面长为x m，则宽为m(x>0)，
则该容器的总造价y＝4×20＋10×2x＋2××1＝80＋20x＋≥80＋20×2＝160.
当且仅当x＝，
即x＝2时等号成立．]
2．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )
A．2元 B．3元
C．4元 D．5元
C [设这本书定价x元时收入为y，则y＝x80 000－2 000×，
要使收入不低于200 000，即y≥200 000.
解得2.5≤x≤4，所以最高定价应当是4元．]
3．某商品在最近30天内的价格y与时间t(单位：天)的函数关系是y＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；销售量z与时间t的函数关系是z＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t满足( )
A．15≤t≤20 B．10≤t≤15
C．10＜t＜15 D．0＜t≤10
B [由题知，日销售金额Q＝y·z＝(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10 ≤t≤15.]
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．{x|15≤x≤20}
B．{x|12≤x≤25}
C．{x|10≤x≤30}
D．{x|20≤x≤30}
C [如图所示，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝＝，则有AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x的取值范围为10≤x≤30.]
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
B [由题意知，平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为y＝＝＋x(x∈N＋)，y≥2＝20.当且仅当＝x，即x＝80时，y取得最小值．]
二、填空题
6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．
12 [年平均值＝＝＋0.1n＋1≥3.4，当且仅当＝0.1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．]
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
20 [设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝2＝160(万元)．当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.]
8．某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m2.
648 [设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为 m，
又设占地面积为y m2，依题意，得y＝(x＋8)＝424＋4≥424＋224＝648(m2)，当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”．]
三、解答题
9．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解] (1)根据题意，200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是{x|3≤x≤10}．
(2)设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457 500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克，该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．
10．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] (1)依题意得
y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)．
(2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1 440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．
即当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．
[等级过关练]
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.A [设路程为s，则v＝＝，因为02>0，∴<＝.因为v－a＝－a＝＝>0，所以v>a.综上可得，a2．如图所示，P是球O的直径AB上的动点，PA＝x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y＝Q的大致图象是以下选项中的( )
A [设球的半径为R，截面圆的半径为r，则r2＝x(2R－x)，∴Q＝πr2＝π·x(2R－x)＝－π(x－R)2＋πR2，
其图象是过原点且开口向下的抛物线的一部分．]
3．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
20 [七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.]
4．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
{x|100解得x的范围是1005．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x满足函数关系式S＝
已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．
[解] 由题意得，每日的利润L与日产量x的函数关系式为L＝
(1)当x＝2时，L＝3，即3＝2×2＋＋2，得k＝18.
(2)当x≥6时，L＝11－x为单调递减函数，故当x＝6时，Lmax＝5.
当0当且仅当2(x－8)＝(0综上，当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元.
