4.1 函数
4.1.1 函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)
2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)
3．能正确使用区间表示数集．(重点)
1.通过函数概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助函数定义域的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
1．函数的相关概念
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．
(2)函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．
(3)函数的值域
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
思考1：如何准确理解函数的概念？
[提示] (1)函数记号y＝f(x)的内涵：符号“y＝f(x)”指的是“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，y＝f(x)是指对于定义域A中的任意x，在对应关系f的作用下，在值域C中有唯一的y与之对应，f(x)不一定是解析式，也可以是函数的其他表示形式，如图表法等．
(2)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况(非常数函数)下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
2．区间的概念与表示
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半闭半开区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
思考2：如何正确理解区间的概念？
[提示] (1)区间表示了一个数集的范围，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．
(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．
(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．
(5)用＋∞，－∞表示区间的端点处不能写成闭区间形式．
1．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．不确定
B [因为f(x)＝－1表示常数函数，所以f(2)＝－1，故选B.]
2．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
B [对于A，集合A中的0，B中有±1对应，故不是A到B的函数；
对于B，A中的1,2,4对应B中的1,3对应B中的0，故为A到B的函数；
对于C，A中的2，在B中无元素对应，故不为A到B的函数；
对于D，A中的2，在B中无元素对应，故不为A到B的函数．]
3．填空：
(1)集合{x|1(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；
(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．
[答案] (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2]
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________．
{0，－1,3} [把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中所得结果分别为0，－1,0,3，所以值域为{0，－1,3}．]
函数的概念及应用
【例1】 (1)下列四个图象中，不是函数图象的是( )
(2)下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
(3)判断下列对应是否为函数：
①x→y，y＝，x≠0，x∈R，y∈R；
②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；
③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
④x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．
[思路探究] (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
(3)利用函数的定义判定．
(1)B (2)C [(1)根据函数的定义知：y是x的函数，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.
(2)①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.]
(3)解：①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．
②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．
③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．
④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，x∈{y|0≤y≤1}?{y|0≤y≤3}．
1．判断一个对应关系是否为函数的步骤
(1)判断A，B是否是非空数集；
(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；
(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．
2．判断函数是否相同的步骤
(1)看定义域是否相同；
(2)看对应关系是否相同；
(3)下结论．
1．判断下列对应是不是实数集R到R上的一个函数．
(1)f：把x对应到3x＋1；
(2)h：把x对应到；
(3)r：把x对应到.
[解] (1)x∈R，对应法则为f：x→3x＋1，设x1∈R，能确定唯一的函数值y1＝3x1＋1，
所以对应法则f是实数集R到R上的一个函数．
(2)x∈R，对应法则为h：x→，
因为x＝0时，不能确定唯一的函数值，
所以对应法则h不是实数集R到R上的一个函数．
(3)x∈R，对应法则为r：x→，
因为x<0时，无意义，
所以当x<0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则r不是实数集R到R上的函数．
求简单函数的定义域、值域
【例2】 (1)函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为( )
A. B.
C. D.
(2)求下列函数的值域：
①y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
②y＝＋1；
③y＝；
④函数y＝(1≤x≤2)．
[思路探究] 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．
(1)B [要使函数有意义，则
即即x＜且x≠－，
故函数的定义域为，故选B.]
(2)解：①因为y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，所以y∈{3,5,7,9,11}．所以函数的值域为{3,5,7,9,11}．
②因为≥0，所以＋1≥1.所以函数的值域为[1，＋∞)．
③y＝＝＝3＋≠3.所以函数的值域为{y|y≠3}．
④因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，≤≤1，故2≤≤8，所以函数的值域为[2,8]．
1．求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．求函数值域的方法
(1)简单的函数可以观察得到．
(2)一次分式(或者可以化成一次分式的形式)可以采用常数分离法求解．
(3)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围．
(4)二次函数常用配方法求其在R上的值域．
2．函数f(x)＝＋的定义域为________．
[－1,2)∪(2，＋∞) [由题意可得解得x≥－1且x≠2，所以函数的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．]
3．函数y＝－x2－2x＋5的值域为________．
(－∞，6] [y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，
因为x∈R，所以－(x＋1)2＋6≤6，
所以函数的值域为(－∞，6]．]
求抽象函数的定义域
[探究问题]
1．函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f而言，有什么作用？
提示：这里的[0，＋∞)是自变量x的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x的取值范围．对于函数的对应关系f而言，当自变量x在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．
2．(1)设函数f(x)＝，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？
提示：(1)f(x＋1)＝.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝的定义域为[－1，＋∞)．
(2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．
3．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？
提示：这里的“[1,2]”是自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．
【例3】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域．
[思路探究] (1)由函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x－3≤3即可．
(2)由函数y＝f(2x－3)的定义域，先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x＋2)的定义域．
[解] (1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为.
(2)因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]，
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]．
(变条件)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，求y＝f(2x－3)＋f(x2)的定义域．
[解] 因为函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
即x∈[－2,3]，所以x＋1∈[－1,4]．
即f(x)的定义域为[－1,4]．
由得
即1≤x≤2.
所以y＝f(2x－3)＋f(x2)的定义域为[1,2]．
求复合函数定义域的方法
?1?已知f?x?的定义域为D，求f?g?x??的定义域：由g?x?∈D，解不等式得出x的范围，即得到f?g?x??的定义域.
?2?已知f?g?x??的定义域为D，求f?x?的定义域：由x∈D，求出g?x?的值域，即得到f?x?的定义域.
1．本节课的重点是理解函数的概念，难点是函数概念的理解及已知函数式求定义域、值域问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断对应关系是否为函数的方法，判断图形是否为函数图象的方法．
(2)求函数定义域的方法及求值域的方法．
3．本节课的易错点是判断对应关系是否为函数关系及相同函数的判断.
1．思考辨析
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )
(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )
[解析] (1)×.定义域和值域可以是有限集也可以是无限集．
(2)×.根据函数的定义可知，对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的一个值f(x)和它对应．
(3)√.f(a)表示当x＝a时的函数值，它是一个常量．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列各式中，函数的个数是( )
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4 B．3 C．2 D．1
B [根据函数的定义，①②③是函数．④中满足即的实数x不存在．]
3．函数f(x)＝＋的定义域是________．
[4,5)∪(5，＋∞) [∵函数f(x)＝＋，
∴解得x≥4，且x≠5，
∴函数f(x)的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．]
4．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
课件58张PPT。第四章 函 数4.1 函数
4.1.1 函数函数f或函数f(x)任意数x唯一确定的数yy＝f(x)，x∈A{y|y＝f(x)，x∈A}自变量定义域函数值y＝f(a)或y|x＝a(a，b][a，b](a，b)[a，b)函数的概念及应用求简单函数的定义域、值域求抽象函数的定义域点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
A B C D
A [因为垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.]
2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
C [对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.]
3．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
C [∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]
4．已知函数y＝，则其定义域为( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
C.∪
D.∪
D [要使式子有意义，则即所以x≤1且x≠－，即该函数的定义域为∪－，1.]
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( ),
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
C [∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜≤1，
∴值域为(0,1]．]
二、填空题
6．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥0}＝________.
(2){x|1≤x≤3}＝________.
(3){x|x＞1，且x≠2}＝________.
[答案] (1)[0，＋∞)
(2)[1,3]
(3)(1,2)∪(2，＋∞)
7．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [观察函数图象可知f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]，只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．]
8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
(0,2) [由题意知即从而0＜x＜2，
于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝.
[解] (1)由已知得∴
∴－≤x≤，∴函数的定义域为.
(2)由已知得|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，即x≠－1，－3，
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)y＝；
(3)y＝x－.
[解] (1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．
设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为.
[等级过关练]
1．给出四个结论：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [由函数的概念及函数的三要素可知，这四个结论都正确．]
2．已知函数f(x)的定义域为(0,1)，则g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)在0＜c＜时的定义域为( )
A．(－c,1＋c) B．(1－c，c)
C．(1＋c，－c) D．(c,1－c)
D [要使函数有意义，则
即又∵0＜c＜，
∴c＜x＜1－c，∴该函数的定义域为(c,1－c)．]
3．已知f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，则f(175)＝________.
2m＋n [∵f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，∴把x＝5，y＝7代入得f(5)＋f(7)＝f(35)，∴m＋n＝f(35)，把y＝35代入得f(5)＋f(35)＝f(175)，
∴m＋m＋n＝f(175)，即2m＋n＝f(175)，∴f(175)＝2m＋n.]
4．已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为________．
(－∞，2)∪(2，＋∞) [f(x)＝＝＝2＋.∵x≠2，∴≠0.
∴f(x)≠2.∴f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．]
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；
(2)由(1)的计算猜想关于f(x)的一个性质，并证明；
(3)根据第(2)题的猜想，请计算f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f的值．
[解] (1)f(2)＋f
＝＋＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝＋＝1.
f(4)＋f＝＋＝＋＝1.
(2)猜想：当x≠0时，f(x)＋f＝1.
证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由f(x)＋f＝1及f(1)＝＝可得f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f＝＋1×2 018＝2 018.
