4.1.2 函数的表示方法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．(一般)
2．会求一些简单函数的解析式．(重点)
3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)
4．会作一些简单函数的图象．(难点)
1.通过函数表示方法的学习，培养学生的直观想象素养．
2．借助分段函数及其应用的学习，提升数学抽象素养.
1．函数的常用表示方法
表示方法
定义
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法
图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法
解析法
(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)
思考1：函数三种表示方法各有哪些优缺点？
[提示]
表示方法
比较
列表法
图象法
解析法
优点
具体易用，不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
能直观、形象地表示函数的变化情况
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
缺点
不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，且有时误差较大
不够直观、形象、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表达出来
同时，函数的三种表示方法互相兼容和补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际问题中，以解析法为主．
2．函数图象
(1)函数y＝f(x)与其图象F的关系：
①图象F上任一点的坐标(x，y)都满足y＝f(x)；
②满足y＝f(x)关系式的点(x，y)都在F上．
(2)作函数图象的步骤：列表、描点、连线．
3．分段函数
(1)定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
(2)三要素
①定义域：由每一段上x的取值范围的并集．
②值域：所有函数值组成的集合．
③对应法则：在每一段上的对应法则不同．
思考2：怎样正确理解分段函数？
[提示] (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
(4)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数值的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
1．已知f(x)的定义域和值域都是{－1,0,1,2}，且满足下表：
x
－1
0
1
2
f(x)
0
1
－1
2
则f(f(0))＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
C [f(0)＝1，f(f(0))＝f(1)＝－1.]
2．在下面四个图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )
D [根据函数的定义，任作一条与x轴垂直的直线，直线与函数图象至多有一个交点，因此只有选项D符合．]
3．函数f(x)＝则f的值是( )
A. B．－ C. D．－
A [∵f＝－，
∴f＝f＝－＋1＝.]
4．一等腰三角形的周长为10，底为x，则腰y与底x的函数解析式为________．
y＝－x＋5(0
0，y>0)，
所以y＝－x＋5，
又因为2y>x>0，
所以0故y＝－x＋5(0函数的表示方法
【例1】 (1)函数f(x)＝x＋的图象是( )
(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[思路探究] (1)对x进行讨论将函数f(x)＝x＋转化为所熟知的基本初等函数即可作图．
(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y与x关系的解析式，注意定义域．
(1)C [当x＞0时，f(x)＝x＋1，故图象为直线f(x)＝x＋1(x＞0的部分)；
当x＜0时，f(x)＝x－1，故图象为直线f(x)＝x－1(x＜0的部分)；
当x＝0时，f(x)无意义即无图象．
综上，f(x)＝的图象为直线y＝x＋1(x＞0的部分)和y＝x－1(x＜0的部分)，即两条射线，故选C.]
(2)解：①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.
1．作出下列函数的图象：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝x＋1(x≥0)；
(3)y＝x2－2x，x∈[0,3)．
[解] (1)定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图①所示．
(2)y＝x＋1(x≥0)表示一条射线，图象如图②所示．
①
② ③
(3)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图③所示.
求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x)＝x2－x＋2，则f(x＋2)＝________；
(2)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(3)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________；
(4)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
[思路探究] (1)利用代入法直接求解；(2)用换元法或配凑法求解；(3)用待定系数法求解；(4)用方程组法求解．
(1)x2＋3x＋4 (2)x2－4x＋3(x≥1)
(3)－2x＋4或2x－1 (4)x－1 [(1)因为f(x)＝x2－x＋2，所以f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＋2＝x2＋3x＋4.
(2)法一：(换元法)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二：(配凑法)f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(3)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b＝4x2－10x＋4，
所以
解得k＝－2，b＝4，或k＝2，b＝－1，
故f(x)＝－2x＋4，或f(x)＝2x－1.
(4)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]
求函数解析式的方法
?1?已知f?x?，求f?g?x??时，用g?x?代表f?x?中的x即可.
?2?已知f?g?x??＝h?x?，求f?x?，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g?x?，解出x，代入h?x?中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围；
②配凑法，即从f?g?x??的解析式中配凑出“g?x?”，即用g?x?来表示h?x?，然后将解析式中的g?x?用x代替即可.
?3?待定系数法：若已知f?x?的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.
?4?方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
提醒：换元法求函数解析式时，注意换元前后自变量的取值范围的变化，解题过程要时刻注意等价变形.
2．(1)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为________；
(2)已知函数f(x＋1)＝.求f(2)，f(x)．
(1)g(x)＝3x2－2x [法一：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
所以解得
所以g(x)＝3x2－2x.
法二：设g(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)，
由已知得解得
所以g(x)＝32－，即g(x)＝3x2－2x.]
(2)解：f(2)＝f(1＋1)＝1.令t＝x＋1，
则x＝t－1，
所以f(t)＝，即f(x)＝.
分段函数及其应用
[探究问题]
1．作函数的图象通常分为哪几步？
提示：列表，描点，连线．
2．作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？
提示：作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
【例3】 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－3)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)求函数f(x)的值域．
[思路探究] 分段函数求值域?各段上求出值域取并集．
[解] (1)因为－3<1，
所以f(－3)＝－(－3)＋2＝5，
又5>3，所以f(f(－3))＝f(5)＝5－2＝3，故f(f(f(－3)))＝f(3)＝－32＋4×3－2＝1.
(2)函数的图象如图所示：
(3)法一：(利用图象)由函数y＝f(x)的图象可得y≥1，
所以函数y＝f(x)的值域为{y|y≥1}．
法二：(直接法)由函数y＝f(x)的解析式可知，
当x<1时，y∈(1，＋∞)，当1≤x≤3时，y∈[1,2]；
当x>3时，y∈(1，＋∞)，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
1．(变结论)本例中条件不变，若f(a)＝4，求a的值．
[解] (1)当a<1时，由－a＋2＝4，得a＝－2.
(2)当1≤a≤3时，由－a2＋4a－2＝4，得a2－4a＋6＝0，此方程无解．
(3)当a>3时，由a－2＝4，得a＝6.
综上所述，a的值为－2或6.
2．(变条件)本例改为方程f(x)＝a有4个不同的实根，求实数a的取值范围，如何解决？
[解] 方程f(x)＝a有4个不同的实数根，即直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有4个不同的交点，由图象(图略)知11．分段函数的求值策略
(1)已知自变量求函数值：先看自变量取值范围，再代入相应解析式求值．
(2)已知函数值求自变量：注意分类讨论思想的运用．
提醒：已知函数值求自变量的值时应关注变量的取值范围．
2．作分段函数图象的注意点
求作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开与连接，断开时要分清断开处是实心点还是空心点．
3．含两(多)个绝对值的函数问题的处理思路
(1)去绝对值号．对含有两(多)个绝对值的函数，要作出其图象，首先根据“零点分段法”去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数．
(2)画图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
(3)识图得解．分段函数的定义域与值域的最好求法是“图象法”．利用图象可以较清晰地观察出函数的定义域及值域．
1．本节课的重点是函数的三种表示方法，描点法作函数图象及求函数解析式，难点是求函数的解析式和分段函数问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)函数三种表示方法的注意点．
(2)作函数图象的注意点．
(3)待定系数法和换元法求函数解析式的方法步骤．
3．本节课的易错点是用换元法求函数解析式时易漏掉新换元的范围，由分段函数值求参数时易漏掉对所求值所在区间的检验.
1．思考辨析
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．f(x)＝|x－1|的图象是( )
B [∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.]
3．函数f(x)的图象如图所示，其中O(0,0)，A(1,2)，B(3,1)，C，则f＝________.
[因为f(3)＝1，所以f＝f(1)＝2.
又因为C在函数f(x)的图象上，
所以f＝f(2)＝.]
4．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(0))的值；
(2)画出函数f(x)的大致图象．(只画图象不写过程)
[解] (1)f(f(0))＝f(1)＝0.
(2)函数图象为：
课件54张PPT。第四章 函 数4.1 函数
4.1.2 函数的表示方法234解析式自变量对应函数值图形代数式567Fy＝f(x)8不同的对应法则 9101112131415函数的表示方法161718192021222324求函数的解析式2526272829303132333435分段函数及其应用363738394041424344454647484950515253点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 函数的表示方法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：
考试次数x
1
2
3
4
5
成绩y(分)
90
102
106
105
106
则下列说法正确的是( )
A．成绩y不是考试次数x的函数
B．成绩y是考试次数x的函数
C．考试次数x是成绩y的函数
D．成绩y不一定是考试次数x的函数
B [根据函数的概念可知B正确．]
2．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B．2 C．4 D．5
B [由题意得f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.]
3．已知f(x)是一次函数，且f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
B [∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，可得f(x－1)＝k(x－1)＋b＝kx－k＋b，∵f(x－1)＝3x－5，∴解得k＝3且b＝－2.
因此，f(x)的解析式为f(x)＝3x－2，故选B.]
4．已知f(x)＝则f(3)等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A [∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)
＝f(7)＝7－5＝2.]
5．已知x≠0时，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋(x≠0)
B．f(x)＝x2＋2(x≠0)
C．f(x)＝x2(x≠0)
D．f(x)＝2(x≠0)
B [法一：(配凑法)∵f＝x2＋
＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
法二：(换元法)令t＝x－(t≠0)，则t2＝2
＝x2＋－2，∴x2＋＝t2＋2，
∴f(t)＝t2＋2(t≠0)，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋2(x≠0)．]
二、填空题
6．已知一个函数的部分对应关系由下表给出：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－4
－3
－2
－1
0
1
2
则此函数的解析式可能为________．
f(x)＝x－1 [根据表中的数值可以看出x与f(x)的对应值相差1，即f(x)＝x－1.]
7．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．
5 [∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，
∴f(x)＝x－，∵f(a)＝4，即a－＝4，
∴a＝5.]
8．设函数f(x)＝则方程f(x)＝2的所有实数根之和为________．
[因为f(x)＝方程f(x)＝2，
所以当x＞0时，x－＝2，解得x＝3，
当x≤0时，x2－＝2，
解得x＝－，所以－＋3＝.]
三、解答题
9．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(1＋)＝x－2－1，求f(x)．
[解] (1)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设1＋＝t(t≥1)，则＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，
∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1)．
10．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应．
[解] (1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，有唯一的m值与之对应．
[等级过关练]
1．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
B [在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示，根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．
∴当x＝1时，f(x)max＝1，故选B.]
2．若函数f(x)满足关系式f(x)－2f(－x)＝x2＋x，则f(2)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
A [在关系式f(x)－2f(－x)＝x2＋x①中，以－x去替换式中的x，得
f(－x)－2f(x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x②，
联立①②解得f(x)＝－x2＋x，∴f(2)＝－22＋×2＝－.]
3．已知f(x)＝若f(x)>2，则x的取值范围是________．
{x|x>0或x<－4} [当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)>2，得－x－2>2，解得x<－4，故x<－4.
∴x的取值范围是{x|x>0或x<－4}．]
4．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
F(x)＝3x＋ [设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，
则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，
得解得
所以F(x)＝3x＋.]
5．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
[解] 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，
f(x)＝
