4.1.3 函数的单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点)
2.掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)
3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)
1.通过函数单调性定义的学习，培养学生的数学抽象素养.
2.借助函数单调性的应用，提升逻辑推理素养.
1．增、减函数的概念
2．函数的单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
思考：如何正确理解函数单调性的概念？
[提示] (1)定义中“区间M?A”及“在这个区间M上”说明了：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是函数的整个定义域也可以是定义域的某个子集．
(2)定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，所以，在证明单调性时“任意”二字不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属于一个单调区间．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系实现正逆互推，即由f(x)是减(增)函数且f(x1)＜f(x2)?x1＞x2(x1＜x2)．
1．函数f(x)的图象如图所示，则( )
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数
D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
A [由函数图象及函数单调性的定义可知f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数．]
2．函数f(x)＝的减区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
D [画出反比例函数y＝的图象，由图象可知其减区间为：(－∞，0)和(0，＋∞)．]
3．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
(－∞，1) [因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．]
4．已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．
[－3,1] 2 －3 [由函数的图象可知f(x)的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.]
求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[思路探究] (1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．
[解] (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
1．求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
1．若f(x)＝则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
(－∞，0]，[1，＋∞) (0,1) [作出函数f(x)的图象(图略)，利用图象易写出它的增区间和减区间．]
函数单调性的判定与证明
【例2】 (1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋2x
(2)用定义法证明函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数．
[思路探究] (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．
(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．
(1)D [对于A：f(x)在R上递减，不合题意；对于B：f(x)的对称轴是x＝1，在(0,1)上递减，不合题意；对于C：f(x)在(0，＋∞)上递减，不合题意；对于D：f(x)的对称轴是x＝－1，开口向上，在(0，＋∞)上递增，符合题意，故选D.]
(2)解：设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数．
判断函数单调性的常用方法
?1?定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法.
?2?图象法.根据函数图象的升、降情况进行判断.
?3?直接法.运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.同时还要注意以下结论：
①函数y＝－f?x?与函数y＝f?x?的单调性相反.
②函数f?x?恒为正或恒为负时，函数y＝的单调性相反.
③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数等.
2．利用单调性的定义判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性．
[解] 设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.
∴＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数.
函数单调性的应用
[探究问题]
1．根据函数单调性的定义，若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值是越大还是越小？如果函数f(x)是减函数呢？
提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当自变量x越大，函数值就越大；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当自变量x越大，函数值就越小．
2．若函数f(x)＝ax2－4ax＋3，显然其图象的对称轴为x＝2，那么f(4)>f(3)一定成立吗？
提示：不一定．如果函数f(x)是图象开口向上的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则f(4)>f(3)；如果函数f(x)是图象开口向下的二次函数，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f(4)3．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？
提示：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)?(a，＋∞)，所以a≤2.
【例3】 (1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则( )
A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)
(2)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究] (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．
(2)由函数的单调性求参数a的取值范围?函数单调性的定义．
(1)C [因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，没法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝2＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C.]
(2)解：设11，因为f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
故a的取值范围是[－1，＋∞)．
1．(变条件)将例3(2)改为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，且f(2m)>f(m－9)，求实数m的取值范围．
[解] 因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，又f(2m)>f(m－9)，所以即
解得m≥10，
所以实数m的取值范围为[10，＋∞)．
2．(变条件)将例3(2)改为在定义域(0,1)上是减函数，求实数a的取值范围．
[解] 设0因为f(x)在(0,1)上是减函数．
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)>0.
因为x1－x2<0，所以1＋<0，即a<－x1x2.
因为01．已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．
(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
1．本节课的重点是利用定义证明函数的单调性和函数的单调区间的求法，难点是利用定义证明函数的单调性及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用定义证明函数单调性的步骤．
(2)函数单调区间的求法．
3．本节课的易错点是利用单调性解决与抽象函数有关的参数问题时易忽视函数的定义域.
1．思考辨析
(1)已知f(x)＝，因为f(－1)(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”．( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
[解析] (1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．
(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．
(3)×.反例：f(x)＝
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝x2－6x的减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
D [y＝x2－6x＝(x－3)2－9.结合函数的图象可知，单调减区间为(－∞，3]．]
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2) [∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<，
即x的取值范围是.]
4．证明函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．
[证明] 设－1＜x1＜x2＜0，则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．
课件49张PPT。第四章 函 数4.1 函数
4.1.3 函数的单调性23456单调性 7891011121314求函数的单调区间151617181920函数单调性的判定与证明212223242526272829函数单调性的应用30313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 函数的单调性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)( )
A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
D [由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．]
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A [B在R上为减函数；C在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；D在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．]
3．设函数f(x)＝(4m＋1)x＋n是R上的减函数，则有( )
A．m≥ B．m≤－
C．m＞－ D．m＜－
D [∵f(x)在R上为减函数，
∴4m＋1＜0，即m＜－.]
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对定义域内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．不增不减函数 D．既增又减函数
B [∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0?或
即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．]
5．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)＞25
A [由y＝f(x)的对称轴是x＝，可知f(x)在上递增，
由题设只需≤－2，即m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.应选A.]
二、填空题
6．函数f(x)＝的递减区间是________．
(0,1) [f(x)＝在(0,1)上是减函数，f(x)＝x在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝的单调递减区间是(0,1)．]
7．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是________．
(0,1) [由于两函数在(1，＋∞)上递减应满足所以0＜a＜1.]
8．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) [由题设得即－1≤x<.]
三、解答题
9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
[解] f(x)＝的图象如图所示．
由图可知：函数的单调减区间为(－∞，1]，(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝求f(x)的值域．
[解] f(x)＝
作出f(x)的图象(如图)．
由图可知，f(x)的值域为(－3,8]．
[等级过关练]
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f(8(x－2))的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D.
D [由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，?2＜x＜，选D.]
2．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数b的范围是( )
A．[1,2] B.
C．(1,2] D．(1,2)
A [f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，首先分段函数在每段上都是增函数，则需满足即3．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
f(－3)＞f(－π) [由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，可知函数f(x)为增函数．又－3＞－π，所以f(－3)＞f(－π)．]
4．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
2 [f(x)＝＝＝1＋，
∵y＝在(1，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是减函数，
故f(x)max＝f(2)＝＝2.]
5．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
[解] (1)∵x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，当x＜0时，f(x)＞1，令x＝－1，y＝0，则f(－1)＝f(－1)f(0)．
∵f(－1)＞1，∴f(0)＝1.
(2)证明：若x＞0，－x＜0，
∴f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)，
∴f(x)＝∈(0,1)，
故x∈R，f(x)＞0，
任取x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)，
∵x2－x1＞0，∴0＜f(x2－x1)＜1，
∴f(x2)＜f(x1)．故f(x)在R上是减函数.
