4.1.4 函数的奇偶性
4．1.5 用计算机作函数的图象(选学)
(新课标对本节不做要求，略)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数奇偶性的含义．(难点)
2.掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易错点)
1.通过函数奇偶性定义的学习，培养学生的数学抽象素养.
2.借助函数奇偶性与单调性的综合学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
1．奇函数、偶函数的定义
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
条件
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
结论
f(x)是奇函数
f(x)是偶函数
2.奇函数、偶函数的图象特征
(1)奇函数?图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．
(2)偶函数?图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
思考：若点P(x，f(x))是奇函数y＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x，f(x))关于原点对称的点P′(－x，－f(x))也在函数y＝f(x)的图象上？
[提示] 由奇函数的定义知，对于奇函数y＝f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，即当x的值为－x时，其函数值为－f(x)，所以点P′(－x，－f(x))也在这个奇函数y＝f(x)的图象上．
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B [选项A、C、D既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以它们不具有奇偶性，选项B的图象关于y轴对称，它是偶函数，故选B.]
2．函数f(x)＝，x∈(0,1)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
C [∵定义域为(0,1)不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶的函数，故选C.]
3．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
8 [∵f(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称．
∴－3＋a＝5，∴a＝8.]
4．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是________．
(－∞，0] [因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．]
函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(4)f(x)＝
[解] (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)使函数有意义满足所以定义域为{1}，
因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－1
＝－＝－f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)．
综上可知，函数f(x)＝是奇函数．
定义法判断函数奇偶性的步骤
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；
④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]；
⑥f(x)＝.
②③⑥ [对于①，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数；
对于⑥，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是②③⑥.]
函数奇偶性的应用
【例2】 (1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B. C. D．1
(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
(3)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，求f(x)的解析式．
[思路探究] (1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；
(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．
(3)要求函数的解析式，根据题意，只要求当x≤0的函数解析式，由x＞0时，f(x)＝＋1，可先设x＜0，则－x＞0，结合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)．
(1)A (2)－26 [(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，∴＝，
∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.
(2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.]
(3)解：设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝＋1，
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，
∴f(x)＝－－1，
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
1．由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．
3．利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．
(2)把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．
2．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
(－2,0)∪(2,5] [由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在[－5,0)的图象，如图所示．由图象可以看出，不等式f(x)＜0的解集是(－2,0)∪(2,5]．
]
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
f(x)＝ [令x＜0，则－x＞0，
因为f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.
又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝]
函数奇偶性与单调性的综合应用
[探究问题]
1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
2．你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
【例3】 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(2)＝1.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
[解] (1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以2f(－1)＝0.
所以f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)证明：设x2＞x1＞0，则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
因为x2＞x1＞0，所以＞1.
所以f＞0，即f(x2)－f(x1)＞0.
所以f(x2)＞f(x1)．所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f＝f.
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f＞f.所以f＞f.
1．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．
2．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．
4．已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1)[解] ∵f(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，且在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，
∴或
解得0≤m<1或－1即－11．本节课的重点是掌握判断函数奇偶性的方法，难点是函数奇偶性与单调性的综合应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断函数奇偶性的方法．
(2)奇、偶函数图象的应用．
(3)函数奇偶性与单调性的综合应用．
3．本节课的易错点是判断函数奇偶性时易忽略定义域或对函数式进行不等价化简导致函数奇偶性判断错误.
1．思考辨析
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
[解析] (1)×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．
(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．
(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x4＋2x2的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
C [∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
∴图象关于y轴对称．故选C.]
3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( )
A．增函数且最小值是－1
B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1
D．减函数且最小值是－1
C [∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1.]
4．已知函数f(x)＝，如图，已知f(x)在区间[0，＋∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据．
[解] 补图如图所示．依据：因为f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝，所以f(x)＝f(－x)，f(x)为偶函数，而偶函数的图象关于y轴对称，故可借助于对称性作出f(x)在(－∞，0)上的图象．
课件49张PPT。第四章 函 数4.1 函数
4.1.4 函数的奇偶性234偶函数f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)奇函数5坐标原点y轴 6789101112函数奇偶性的判断1314151617181920函数奇偶性的应用212223242526272829函数奇偶性与单调性的综合应用30313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 函数的奇偶性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
B [函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝＝f(x)，所以该函数是偶函数．]
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
B [根据函数的奇偶性知A，D是奇函数，B，C是偶函数，当x>0时，y＝|x|＋1＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减．]
3．若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．不能确定
B [由于f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))
C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))
D [因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.]
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
A [由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．]
二、填空题
6．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
[－1,0]，[1，＋∞) [偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．]
7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
0 [∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.]
8．若f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则x<0时，f(x)＝________.
－x(1＋x)(x<0) [设x<0，则－x>0，由已知，f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)(x<0)．]
三、解答题
9．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式fx－<0的解集．
[解] ∵f(x)是奇函数，且f(1)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(－1)＝－f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递增．
∴不等式fx－<0可化为
或
即0解得∴原不等式的解集是x或10．已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
[解] (1)因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝.
(2)证明：设1Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝，
因为10,1＋x1x2>0,1－x<0,1－x<0，则Δy>0，所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
[等级过关练]
1．已知函数f(x)＝x3＋x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
B [设F(x)＝f(x)－1＝x3＋x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，
所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]
2．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
B [∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，∴f＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，∵当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，
综上，xf(x)＞0的解集为x或－3．给出以下结论：
①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；
③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；
④h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________．
①③④ [对于①，∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数，①正确；
对于②，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝，满足g(－x)＝－g(x)，
故y＝g(x)是奇函数，②错误；
对于③，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，③正确；
对于④，由解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确．]
4．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
－1 [设F(x)＝f(x)＋x2，∵F(1)＝f(1)＋1＝2，
∴F(－1)＝f(－1)＋1＝－F(1)＝－2.
∴f(－1)＝－2－1＝－3.
又∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.]
5．已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数图象；
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
[解] (1)当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，则m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需－1＜|a|－2≤1，即1＜|a|≤3，解得－3≤a＜－1或1＜a≤3.
即a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．
