4.2 一次函数和二次函数
4.2.1 一次函数的性质与图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质．(重点)
2.会用一次函数的图象和性质解题．(难点)
1.通过一次函数概念的学习，培养学生的数学抽象的素养.
2.借助一次函数图象与性质的学习，养成直观想象的核心素养.
1．一次函数的概念
函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距．一次函数又叫线性函数．
2．一次函数的性质
(1)平均变化率：即为直线的斜率k；
设(x1，y1)，(x2，y2)为直线上任意两点，则
＝＝k或Δy＝kΔx(x2≠x1)．
(k与两点在直线上的位置无关)．
(2)单调性：k>0时，y＝kx＋b为增函数，k<0时，y＝kx＋b为减函数．
(3)奇偶性：b＝0时，y＝kx＋b为奇函数(此时为正比例函数)，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．
(4)直线y＝kx＋b与坐标轴的交点：
与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)．
思考：直线与一次函数图象之间有何关系？
[提示] 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如，过(0,1)的直线l，当l与坐标轴不垂直时，是一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象，当l与y轴垂直时，是常数函数y＝1，又如过(0,1)的直线l与x轴垂直时是直线x＝1，直线x＝1上的点P(1，y)不具有函数y＝f(x)关系．
1．下列说法错误的是( )
A．y＝ax＋b叫做一次函数
B．y＝ax＋b的图象是一条直线
C．当a＞0时，函数y＝ax＋b在R上递增
D．一次函数的平均变化率就是其对应直线的斜率
A [当a＝0时y＝ax＋b不是一次函数．]
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a>－ D．a>
D [∵y＝f(x)为R上的增函数，∴2a－1>0，∴a>.]
3．已知一次函数y1＝＋2，y2＝＋3，当x∈________时，y1>y2.
(6，＋∞) [由y1>y2可得＋2>＋3，
解得x>6，所以x∈(6，＋∞)．]
4．已知函数y＝(k＋1)x＋k2－1，当k≠________时，它为一次函数；当k＝________时，它是正比例函数．
－1 1 [要使函数y＝(k＋1)x＋k2－1为正比例函数，则k2－1＝0，即k＝±1，
又当k＝－1时，函数y＝(k＋1)x＋k2－1为常数函数y＝0.
所以k≠－1时，函数为一次函数，
当k＝1时，函数为正比例函数．]
一次函数的概念和解析式
【例1】 (1)若函数y＝kx＋k2－k过点(0,2)且是减函数，则k的值为( )
A．－2 B．－1 C．－1,2 D．1，－2
(2)已知y＝(α＋1)xα－1＋2是一次函数，则α＝________.
(3)若直线y＝(m2－3)x＋5与y＝x＋m2－m－1重合，则m＝________.
(1)B (2)2 (3)－2 [(1)将点的坐标代入函数关系式，得k2－k＝2，即k2－k－2＝0，所以k＝－1或k＝2，由于一次函数为减函数，即k＜0，所以k＝－1.
(2)由题意得解得即α＝2.
(3)因为两直线重合，所以其斜率及在y轴上的截距完全相同，即有
所以所以m＝－2.]
1．求一次函数的解析式的一般步骤
(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，k≠0.
(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k与b满足的方程组．
(3)求出k与b的值，代入y＝kx＋b即可．
2．对于函数y＝kxα＋b，当α＝1，k≠0时，为一次函数；当α＝1，k≠0，b＝0时，为正比例函数．
1．下列函数：①y＝－2x，②y＝15－6x，③c＝7t－35，④y＝＋2，⑤y＝x，⑥y＝，其中正比例函数是________，一次函数是________．(填序号)
[答案] ①⑤ ①②③⑤
一次函数的图象及应用
【例2】 画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：
(1)方程2x＋1＝0的根；
(2)不等式2x＋1≥0的解集；
(3)图象与坐标轴的两个交点间的距离．
[思路探究] 解答此题必须首先画出图象求解．
[解] 因函数y＝2x＋1的图象与y轴交点A(0,1)，与x轴交点B，过A、B作直线，直线AB就是函数y＝2x＋1的图象．如图所示：
(1)直线AB与x轴的交点为B，
所以方程2x＋1＝0的根为x＝－.
(2)从图象上可以看到，射线BA上面的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x＋1≥0.因为射线BA上点的横坐标满足x≥－，∴不等式2x＋1≥0的解集是.
(3)图象与x轴的交点为B，与y轴交于点A(0,1)，因此，|OA|＝1，|OB|＝.
由勾股定理得：
|AB|＝＝＝.
(变结论)本例中已知条件不变，求(1)当－3≤y≤3时，x的取值范围？
(2)图象与坐标轴围成的三角形的面积．
[解] (1)过(0，－3)点作平行于x轴的直线，交直线AB于点D(－2，－3)．过点(0,3)作平行于x轴的直线，交直线AB于点C(1,3)．
从图象中可见，线段DC上的点的纵坐标满足－3≤y≤3，而横坐标满足－2≤x≤1.
∴当－3≤y≤3时，x的取值范围为－2≤x≤1.
(2)∵△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝|OB|·|OA|＝××1＝.
解决与图象有关的问题，要做好图，识图分析，注意数形结合思想的应用.
一次函数的性质
[探究问题]
已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1，
1．上述函数的图象有何特点？
提示：图象都为直线．
2．观察以上图象，试说明函数的单调性．
提示：函数y＝x＋1，y＝2x为增函数，函数y＝－x＋1为减函数．
【例3】 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：
(1)这个函数为一次函数；
(2)函数值y随x的增大而减小；
(3)此函数为奇函数；
(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上．
[思路探究] 本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于第(4)问要重视方程组的作用．
[解] (1)当2m－1≠0，即m≠时，此函数为一次函数．
(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1<0，即m<时，函数值y随x的增大而减小．
(3)当2m－1≠0，且1－3m＝0，即m＝时，此函数为奇函数．
(4)在y＝x＋1中，令x＝0，y＝1，
∴(0,1)点在y＝(2m－1)x＋1－3m的图象上，
∴m＝0，∴当m＝0时，两直线的交点在y轴上．
一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解.
2．已知当x∈[0,1]时，不等式2m－1＜x(m－1)恒成立，求m的取值范围．
[解] 由当x∈[0,1]时，不等式2m－1＜x(m－1)恒成立，
等价于函数f(x)＝(m－1)x－2m＋1在x∈[0,1]时图象恒在x轴上方，
当m＝1时，f(x)＝－1不合题意；
当m－1＞0，即m＞1时，f(0)＝－2m＋1＞0，
解得m＜，不符合题意；
当m－1＜0，即m＜1时，f(1)＝－m＞0，
解得m＜0.
综上，m的取值范围是(－∞，0)．
1．本节课的重点是一次函数的概念与解析式的求法，难点是一次函数的性质．
2．本节课要掌握的规律
(1)根据条件求一次函数的解析式．
(2)利用一次函数的图象解决有关问题．
(3)一次函数性质的应用．
3．本节课的易错点是斜率k对一次函数性质的影响.
1．思考辨析
(1)函数y＝是一次函数．( )
(2)函数y＝2x＋3是单调递增函数．( )
(3)一次函数y＝x－1的图象过第一、二、三象限．( )
[解析] (1)×.函数y＝是反比例函数．
(2)√.函数y＝2x＋3的斜率k＝2>0，所以函数是单调递增函数．
(3)×.一次函数y＝x－1的斜率k>0，b<0所以其图象过一、三、四象限．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．一次函数y＝－2x＋3的图象与两坐标轴的交点坐标是( )
A．(0,3)， B．(1,3)，
C．(3,0)， D．(3,1)，
A [当x＝0时，y＝3，过点(0,3)；当y＝0时，x＝，过点，故选A.]
3．函数y＝kx－1与y＝－在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )
B [在A中，直线是上升的，知k>0，由曲线的位置知－k>0，即k<0，矛盾；在B中，曲线的位置正好使k>0，故选B.]
4．已知y＝(m－1)xm2－3m＋3＋2是一次函数，且为增函数，求m的值．
[解] ∵函数为一次函数且单调递增，
∴
∴
∴m＝2.
课件40张PPT。第四章 函 数4.2 一次函数和二次函数
4.2.1 一次函数的性质与图象y＝kx＋b(k≠0)直线斜率截距线性函数减函数增函数奇函数 一次函数的概念和解析式一次函数的图象及应用一次函数的性质点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 一次函数的性质与图象
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
B [由题意知k＞0，所以－k＜0，故函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限．]
2．过点(3，m)、(m，－4)的一次函数解析式y＝x＋b，则实数m的值是( )
A．2 B．－4 C．0 D．－2
D [由＝＝，得m＝－2.]
3．若函数y＝ax2＋xb－1＋2表示一次函数，则a，b的值分别为( )
A. B.
C. D.
C [若函数为一次函数，则有
即]
4．一个水池有水60 m3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m3，则水池中剩余水量Q与排水时间t之间的函数关系是( )
A．Q＝60－3t
B．Q＝60－3t(0≤t≤20)
C．Q＝60－3t(0≤t<20)
D．Q＝60－3t(0B [∵每小时的排水量为3 m3，t小时后的排水量为3t m3，故水池中剩余水量Q＝60－3t，且0≤3t≤60，即0≤t≤20.]
5．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
A [对于A，y1中a>0，b<0，y2中b<0，a>0，y1和y2中的a、b符号分别相同，故正确；
对于B，y1中a>0，b>0，y2中b<0，a>0，故不正确；
对于C，y1中a>0，b<0，y2中b<0，a<0，故不正确；
对于D，y1中a>0，b>0，y2中b<0，a<0，故不正确．]
二、填空题
6．若函数y＝ax－2与y＝bx＋3的图象与x轴交于同一点，则等于________．
－ [设交点为(m，n)，则
又因为(m，n)为x轴上一点，所以n＝0.
所以即所以＝－.]
7．已知点A(－4，a)，B(－2，b)都在直线y＝x＋k(k为常数)上，则a与b的大小关系是a________b．(填“>”“<”或“＝”)．
< [过A、B两点的直线的斜率为，则＝，即＝，所以b＝a＋1，因此a8．一次函数f(x)＝(1－m)x＋2m＋3在[－2,2]上总取正值，则m的取值范围是________．
[对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需
即解得m>－.]
三、解答题
9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．
[解] 设题图中的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中y≥0.
由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，
∴得
∴函数解析式为y＝30x－570.
令y＝0，得30x－570＝0，解得x＝19.
∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
10．已知函数y＝(2m＋1)x＋2－3m，m为何值时：
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
(3)函数值y随x的增大而增大；
(4)这个函数图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上．
[解] (1)由
得即m＝；
(2)当2m＋1≠0时，函数为一次函数，所以m≠－；
(3)由题意知函数为增函数，
即2m＋1>0，所以m>－；
(4)直线y＝x＋1与x轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m－1＋2－3m＝0，所以m＝.
[等级过关练]
1．已知kb<0，且不等式kx＋b>0的解集为，则函数kx＋b＝0的图象大致是( )
B [由kb<0，得k与b异号，由不等式kx＋b>0的解集为，知k>0，所以b<0，因此选B.]
2．过点A(－1,2)作直线l，使它在x轴，y轴上的截距相等，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．]
