4.2.2 二次函数的性质与图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．(重点)
2.通过图象研究二次函数的性质．(重点)
3.掌握研究二次函数常用的方法——配方法．(重点)
4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域)．(难点)
1.通过二次函数概念与图象的学习，培养学生的直观想象素养.
2.借助二次函数最值的学习，提升学生的数学运算，逻辑推理素养.
1．二次函数的概念
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，其定义域为R.
2．二次函数的性质与图象
思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？
[提示] y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为( )
A．－7 B．1 C．17 D．25
D [因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.]
2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是( )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
C [y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，
所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]
3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．
y＝x2－6x＋5 [将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]
4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．
单调递增 [因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]
二次函数的图象
【例1】 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A B C D
(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.
(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？
(1)D (2)1 [(1)A图，a＜0，c＜0，－＜0，
∴b＜0，
∴abc＜0，不合题意．
B图，a＜0，c＞0，－＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，不合题意．
C图，a＞0，c＜0，－＜0，∴b＞0，
∴abc＜0，不合题意．
D图，a＞0，c＜0，－＞0，∴b＜0，此时abc＞0满足题意，故选D.
(2)y＝x2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.]
(3)解：由二次函数的定义知
即解得
所以m＝－3.
所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数．
观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号?值?，对称轴的位置决定－的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.
1．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
A B
C D
D [当m＞0时，函数y＝mx＋m递增，且在y轴上的截距为正，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧．当m＜0时，函数y＝mx＋m递减，且在y轴上的截距为负，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧．满足上述条件的只有D选项．]
二次函数的单调性与对称性
【例2】 (1)若f(x)＝x2＋2(a＋1)x＋2在区间[－2,3]上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝2对称，则b＝________.
(3)已知函数f(x)＝－x2－3x－.
①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
②已知f＝，不计算函数值求f；
③不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
[思路探究] (1)f(x)的单调性?对称轴与区间关系．
(2)图象对称?对称轴?定义域关于对称轴对称．
(3)二次函数配方法?顶点、对称轴?利用对称性求值比较大小．
(1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f(x)的对称轴方程为x＝－(a＋1)，
又因为f(x)在区间[－2,3]上是单调函数，
所以－(a＋1)≤－2或－(a＋1)≥3.
解得a≥1或a≤－4，
所以a的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知函数对称轴为2，且a，b关于x＝2对称，所以解得
所以b的值为10.]
(3)解：f(x)＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5)
＝－(x＋3)2＋2.
①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x＝－3.
②f＝f(－3.5)＝f(－3－0.5)＝f(－3＋0.5)＝f＝.
③f＝f＝f＝f.
∵－，－∈[－3，＋∞)，而f(x)在[－3，＋∞)上是减函数，
∴f1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．
2．比较二次函数函数值的大小的方法
(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小．
(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．
3．二次函数图象的对称轴的三种求法
(1)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－.
(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1)＝f(x2)，则对称轴为x＝.
(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．
2．(1)设函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋1.若对任意x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．
(1)[－5，＋∞) [二次函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋1对任意x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，
不等式>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．
又f(x)开口向上，所以－≤3，
解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．]
(2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，
所以f(2)二次函数的最值
[探究问题]
1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？
提示：函数在对称轴处取得最值．
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．
提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.
【例3】 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．
[思路探究] 首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．
[解] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴抛物线的对称轴为x＝1.
(1)∵x＝1∈[0,4]，
∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.
∵f(0)＝2∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.
(2)∵x＝1?[2,3]．
∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，
当x＝3时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(3)＝5.
(变条件)本题中解析式不变，求“当x∈[t，t＋1]时，f(x)的最小值g(t)”．
[解] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝
求二次函数f?x?＝ax2＋bx＋c?a>0?在[m，n]上的最值的步骤：
?1?配方，找对称轴；
?2?判断对称轴与区间的关系；
?3?求最值.若对称轴在区间[m，n]外，则f?x?在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m，n]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.
1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用．
2．本节课要掌握的规律
(1)根据函数的解析式确定函数图象．
(2)利用函数的性质求参数的范围．
(3)求二次函数的最值问题．
3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.
1．思考辨析
(1)若函数y＝ax2＋bx＋c为奇函数，则a＝c＝0.( )
(2)二次函数y＝ax2＋c在y轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( )
[解析] (1)因为y＝ax2＋bx＋c是奇函数，对任意的x都有2ax2＋2c＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c为奇函数的条件是a＝c＝0.
(2)当a＞0时，函数在y轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a＜0时，函数在y轴左侧是增函数，在右侧是减函数．
[答案] (1)√ (2)×
2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
A B C D
C [由y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限可知a＜0，b＜0，所以y＝ax2＋bx的图象开口向下、对称轴方程x＝－＜0，结合图选项可知，选C.]
3．函数f(x)＝－x2＋2x－3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( )
A．0，－2 B．－2，－6
C．－2，－3 D．－3，－6
B [∵f(x)＝－(x－1)2－2，∴当x＝1时有最大值－2，当x＝3时有最小值－6.]
4．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
[解] f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
(1)顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)因为f＝1，又＝，
＝，
所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝f＝1.
(3)由f(x)＝32＋知二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝－，所以离对称轴越近，函数值越小．
又<，
所以f课件52张PPT。第四章 函 数4.2 一次函数和二次函数
4.2.2 二次函数的性质与图象23456789101112二次函数的图象131415161718192021二次函数的单调性与对称性222324252627282930313233二次函数的最值343536373839404142434445464748495051点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九) 二次函数的性质与图象
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先增后减 D．先减后增
C [当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．]
2．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )
A．0≤a≤1 B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0
D [∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2，
∴函数的对称轴为x＝－a，
又∵0≤x≤1，且函数的最大值为a2.
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.]
3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，
f(x)＝则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C.
D.∪(2，＋∞)
D [当x<－1或x>2时，f(x)＝2＋>2，当－1≤x≤2时，f(x)＝2－∈.故选D.]
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则( )
A．a＝1，b＝－4，c＝－11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝－11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
D [由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－＝2，＝－1，解得，a＝3，b＝－12.]
5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＞0；③abc＞0；④b＝2a.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [f(1)＝a＋b＋c＜0，故①正确；
f(－1)＝a－b＋c＞0，即②正确；
对称轴方程为x＝－＝－1，所以b＝2a，故④正确．
函数图象开口向下，故a＜0，b＜0，
f(0)＝c＞0，所以abc＞0，故③正确．]
二、填空题
6．已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，此时函数的值域为________．
2 {y|y≤0} [由题意得
∴
∴m＝2，此时y＝－2x2.
故值域为{y|y≤0}．]
7．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,2]上的最小值是
________，最大值是________．
－ 9 [函数f(x)＝22－，开口向上，则在[－1,2]上先减再增，f(x)min＝f＝－，－1距离对称轴比2远．
∴f(x)max＝f(－1)＝9.]
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]上(a－2 0 [∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，
而a∴函数在[a，b]上单调递增．
∴
解得
又∵a∴a＝－2，b＝0.]
三、解答题
9．(1)若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，求实数a的值．
[解] (1)该函数的对称轴是x＝.
∴该函数的递减区间是，递增区间是.
由题意知(－∞，2]?，
∴≥2，
∴a≤－.
(2)由题意知＝2，∴a＝－.
10．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(－∞，2)上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间[0,3]上的值域；
(3)求f(x)在区间[0，m](m>0)上的最大值g(m)．
[解] (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋3在区间(－∞，2)上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)图象的对称轴为x＝2，
即＝2，所以a＝4.
(2)因为f(x)＝x2－4x＋3在[0,2]上递减，在[2,3]上递增，所以当x＝2时，f(x)取最小值－1，
又由f(0)＝3，f(3)＝0得：
当x＝0时，f(x)取最大值3，
所以f(x)在区间[0,3]上的值域为[－1,3]．
(3)令f(x)＝x2－4x＋3＝3，则x＝0或x＝4，故当00)上的最大值g(m)＝f(0)＝3；
当m>4时，f(x)在区间[0，m](m>0)上的最大值g(m)＝f(m)＝m2－4m＋3，
综上可得：g(m)＝
[等级过关练]
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则abc，b2－4ac,2a＋b，a＋b＋c这四个式子中，值为正数的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
B [抛物线开口向上，a＞0，它与y轴交于负半轴，c＜0，又对称轴交x轴的正半轴，－＞0，而a＞0，得b＜0，因此abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0；∵0＜－＜1，且a＞0，∴－b＜2a，即2a＋b＞0，由图可知，当x＝1时，y＜0，即y＝a＋b＋c＜0，∴四个式子中，值为正数的有3个．]
2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，若对任意x1∈R，都存在x2∈[－2，＋∞)，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. B．(0，＋∞)
C. D.
A [∵f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴f(x)的值域为[－1，＋∞)．
又∵g(x)＝ax＋2(a＞0)为单调增函数，x2∈[－2，＋∞)，则g(x)的值域为[2－2a，＋∞)．
∵对任意x1∈R都存在x2∈[－2，＋∞)，使得f(x1)＞g(x2)，∴只需f(x)的值域是g(x)的值域的真子集即可，则2－2a＜－1，解得a＞，∴a∈.]
3．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(n)≤f(0)，则实数n的取值范围是________．
[0,2] [二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.又二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，又f(n)≤f(0)，所以|n－1|≤|0－1|，解得0≤n≤2.]
4．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
[y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示：
由图可知y＝1与y＝x2－|x|＋a有四个交点，需满足a－＜1＜a，∴1＜a＜.]
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的取值范围，使得y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
[解] (1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，
所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5<－a≤5，即－5≤a<5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
综上可得，f(x)min＝
