4.2.3 待定系数法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)
2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)
1.通过待定系数法求一次、二次函数解析式，提升学生的数学运算的核心素养.
2.借助函数图象求函数解析式的学习，培养直观想象的核心素养.
待定系数法的定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？
[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．
(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．
1．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
D [把点P(3，－2)和Q(－1,2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得
所以y＝－x＋1，故选D.]
2．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝x2＋1 B．y＝x2＋4
C．y＝4x2＋1 D．y＝x2＋4
D [设该二次函数的解析式为y＝a(x－0)2＋4，即y＝ax2＋4，把点(1,5)代入，得a＋4＝5，所以a＝1，
故解析式为y＝x2＋4.]
3．已知一个二次函数y＝f(x)，若f(0)＝3，f(－3)＝0，f(－5)＝0，则这个函数的解析式为________．
y＝x2＋x＋3 [设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点(0,3)，(－3,0)，(－5,0)代入可得
a＝，b＝，c＝3.]
4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则该函数的解析式为________．
y＝x2－x－2 [因为－1,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以
又由f(0)＝c＝－2，
解得a＝，b＝－.
所以该函数解析式为y＝x2－x－2.]
待定系数法求一次函数的解析式
【例1】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.
(2)已知一次函数的图象与x轴交点的横坐标为－，并且当x＝1时，y＝5，则这个一次函数的解析式为______．
(1)2x＋1或－2x－3 (2)y＝2x＋3 [(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋3，所以解得或
所以函数的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(2)设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点和(1,5)，
则有
解得所以y＝2x＋3.]
1．用待定系数法求函数解析式的一般步骤
(1)设出含有待定系数的函数解析式．
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)．
(3)解方程(组)，求出待定系数．
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．
2．用待定系数法求解析式的注意事项
(1)要注意题目中出现两条直线时，它们的斜率的设法分别是k1，k2.
(2)能够结合图形的问题要注意数形结合，有助于提高解题速度和正确率．
1．如图所示，函数f(x)的定义域为[－1,2]，f(x)的图象为折线AB，BC.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≥x2.
[解] (1)由题图可知A(－1,0)，B(0,2)，C(2,0)．
故f(x)＝
(2)不等式f(x)≥x2可化为
或
解得1－≤x＜0或0≤x≤1.
所以不等式的解集为{x|1－≤x≤1}.
待定系数法求二次函数的解析式
【例2】 根据下列条件，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
[思路探究] →→
[解] (1)由题意设二次函数的解析式为
y＝a(x－2)(x－4)，
整理，得y＝ax2－6ax＋8a.
又∵图象过点(0,3)，
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)．
(2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2.
又∵图象过点(0,4)，
∴a＋2＝4，
∴a＝2.
∴解析式为y＝2(x－1)2＋2.
(3)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题设知
即
∴函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.
?1?若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0.
?2?若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大?小?值，则设所求二次函数为顶点式y＝a?x－h?2＋k，其中顶点为?h，k?，a为常数，a≠0.
?3?若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为?x1，0?，?x2，0?，则设所求二次函数为两根式y＝a?x－x1??x－x2?，a为常数，且a≠0.
2．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1得，c＝1，
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
∴
解得
∴f(x)＝x2－x＋1.
已知函数图象求函数解析式
[探究问题]
1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？
提示：观察函数图象的形状．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．
提示：设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1(a＞0)．
又函数过点(0,0)，故a＝1，
所以所求函数的解析式为y＝(x－1)2－1(0≤x＜3)．
由图可知该函数的取值满足－1＝f(1)≤f(x)＜f(3)＝3，即该函数的值域为[－1,3)．
【例3】 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．
[解] 设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(k≠0，x≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)，
同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)；
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．
法一：(顶点式)设抛物线的方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
法二：(一般式)设抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c(a<0,1≤x≤3)．
因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，
所以有
解得
所以抛物线对应的解析式为
y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数的解析式为y＝
根据图象求函数解析式的方法
?1?分清所给函数图象由几部分组成，各部分是怎样的基本初等函数.
?2?各部分图象中有哪些点的坐标已知，尤其要注意各部分的分界点坐标.
?3?设出各段的函数解析式的一般形式，代入坐标求解.
?4?写出结论，注意各段的取值范围.
3．若函数f(x)＝的图象的对称中心为(3,1)，则实数a的值为________．
－2 [f(x)＝1＋，所以f(x)－1＝.
所以对称中心即为(1－a,1)．
令1－a＝3，所以a＝－2.]
1．本节课的重点是用待定系数法求函数的解析式，难点是根据条件如何正确的设出函数解析式．
2．学习本节课，需要掌握以下方法与规律
(1)用待定系数法求一次、二次函数解析式．
(2)根据函数图象正确求出函数解析式．
1．思考辨析
(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )
(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y＝－.( )
(3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y＝x＋.( )
[解析] (1)√.确定一次函数的解析式，即确定k，b的值，因此需要列关于k，b的两个二元一次方程求解．
(2)×.反比例函数图象过点(2,8)，则其解析式为y＝.
(3)√.设一次函数解析式为y＝kx＋b，把(1,3)，(3,4)代入得
解得所以解析式为y＝x＋.
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为( )
A．2,3 B．3,2
C．－2,3 D．－3,2
A [2x2＋x－3＝ax2＋(b－a)x－b，
根据恒等式∴]
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为________．
5 [∵f(3)－f(－1)＝8a＋4b＝0，
∴4a＋2b＝0，∴f(2)＝4a＋2b＋5＝5.]
4．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．
[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．
将三个点的坐标代入，
得解得
∴所求二次函数解析式为
y＝x2－x＋.
法二：(两根式)∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)．
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－7)，
把顶点(4，－3)代入得－3＝a(4－1)×(4－7)，
解得a＝.
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，
即y＝x2－x＋.
课件48张PPT。第四章 函 数4.2 一次函数和二次函数
4.2.3 待定系数法234变量之间关系式一般形式一般形式系数待定系数待定系数5678910111213待定系数法求一次函数的解析式14151617181920待定系数法求二次函数的解析式2122232425262728已知函数图象求函数解析式29303132333435363738394041424344454647点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 待定系数法
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果函数y＝ax＋2与y＝bx＋3的图象相交于x轴上一点，那么a，b的关系是( )
A．a＝b B．a∶b＝2∶3
C．a＋2＝b＋3 D．ab＝1
B [设两函数图象交于x轴上的点为(t,0)，代入解析式有a＝－，b＝－，
∴a∶b＝∶＝2∶3.]
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c经过点(1,7)，且有f(x)≥f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋2 B．f(x)＝x2＋4x＋2
C．f(x)＝x2＋4x－2 D．f(x)＝x2＋4x＋4
B [依题意得f(x)＝a(x＋2)2－2，将点(1,7)代入得7＝9a－2，∴a＝1，∴f(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.]
3．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝－2(x＋1)2＋3
D [设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.]
4．函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为( )
A．2 B．
C．－2或2 D．－2
C [由题意，得|(2k＋b)－(k＋b)|＝2，得k＝±2.]
5．已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函数且是增函数，若f(g(x))＝9x2＋6x＋2，则g(x)为( )
A．g(x)＝3x＋2 B．g(x)＝3x＋1
C．g(x)＝－3x＋2 D．g(x)＝3x－1
B [设g(x)＝ax＋b(a≠0)，则a>0，∴f(g(x))＝f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋1＝9x2＋6x＋2，∴a＝3，b＝1.
∴g(x)＝3x＋1.]
二、填空题
6．若f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1 [由题意可设f(x)＝ax＋b，所以f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f[f(x)]＝4x－1，所以解得或所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.]
7．二次函数满足f(1＋x)＝f(1－x)，且在x轴上的一个截距为－1，在y轴上的截距为3，则其解析式为________．
f(x)＝－x2＋2x＋3 [由f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数图象的对称轴为x＝1，且过(－1,0)，(0,3)两点，设f(x)＝ax2＋bx＋c，则解得
即f(x)＝－x2＋2x＋3.]
8．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋ [设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
当k>0时，解得
当k<0时，
解得
∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.]
三、解答题
9．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．
[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1可知c＝1.
∵f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴解得故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)得f(x)＝x2－x＋1＝2＋，
x∈[－1,1]，
∴当x∈时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f＝.
又f(－1)＝3，f(1)＝1，∴f(x)max＝3.
10．如果函数f(x)＝(b，c∈N*)满足f(0)＝0，f(2)＝2，且f(－2)<－，求f(x)的解析式．
[解] 由f(0)＝0，f(2)＝2，
可得∴
∴f(x)＝.
又f(－2)<－，
∴<－，
解不等式得又∵b∈N*，∴b＝1或b＝2.
又2b－c＝2.故当b＝1时，c＝0，不符合题意．
当b＝2时，c＝2.
∴f(x)＝(x≠1)．
[等级过关练]
1．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
解得b＝4，c＝2，
∴f(x)＝
∴方程f(x)＝x?
或
解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．]
2.如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A，B两点，且OA＝3OB，则m＝________.
0 [设B(x0,0)(x0<0)，
则A(－3x0,0)，y＝－(x－x0)(x＋3x0)．
展开得：
解得m＝0或m＝－，
由x0<0得m＋1>0，m>－1，∴m＝0.]
