4.3 函数的应用(Ⅰ)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(一般)
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1.通过一次函数、二次函数模型应用题的学习，培养数学建模素养.
2.借助分段函数模型应用题的学习，提升数学抽象、数学运算的核心素养.
常见的函数模型
(1)直线型：即一次函数模型；
(2)抛物线型：即二次函数模型，二次函数的最值问题是高考中的永恒话题，现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数；
(3)分段函数型：由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义，因此这种模型的应用也比较广泛．
思考：解决数学应用题的步骤是什么？
[提示]
1．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )
A．52 B．52.5
C．53 D．52或53
D [因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，
所以f(x)＝105x－x2＝－2＋，
所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．]
2．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则7月份该产品的市场收购价格应为( )
A．69元 B．70元 C．71元 D．72元
C [设7月份该产品的市场收购价格为x元，与前3个月即4、5、6月的市场收购价格之差的平方和为f(x)＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15 125＝3(x－71)2＋2.当x＝71时，f(x)最小．]
3．已知从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)元给出，其中m>0，[m]表示不超过m的最大整数，(如[3]＝3，[3.2]＝3)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元．
3．71 [由题意知m＝5.5，[m]＝[5.5]＝5，
所以f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)
＝1.06×(0.5×5＋1)＝3.71(元)．]
一次函数模型的应用
【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费．
[解] (1)甲地调运x台到B地，则剩下(6－x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)．
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N.
∴x＝0,1,2，即能有3种调运方案．
(3)∵y＝20x＋960是R上的增函数，
又0≤x≤6，x∈N，∴当x＝0时，y有最小值为960.
∴从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台到A地，运费最低为960元．
用一次函数解决实际问题的关注点
?1?一次函数有单调递增?k>0?和单调递减?k<0?两种情况.
?2?一次函数图象一般是一条直线或一些孤立的点.
?3?一次函数模型的增长特点是直线上升.
?4?若实际问题中两个变量间的关系是线性的，则可通过建模转化为一次函数问题解决.如行程、价格、分配等问题.
1．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.60元，卖出的价格是每份1元，卖不完的还可以以每份0.20元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
[解] 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)．
数量(份)
价格(元)
金额(元)
买进
30x
0.60
18x
卖出
20x＋10×250
1
20x＋2 500
退回
10(x－250)
0.20
2x－500
则每月获得利润y＝[(20x＋2 500)＋(2x－500)]－18x＝4x＋2 000(250≤x≤400)．
y在x∈[250,400]上是一次函数．
所以x＝400元时，y取得最大值3 600元，
即每天从报社买进400份时，每月获得利润最大，最大利润为3 600元.
二次函数模型
【例2】 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米．要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？
[思路探究] 二次函数模型?构建函数配方法解题．
[解] 因为长为x米，则宽为米，设面积为S平方米．
S＝x·＝－(x2－50x)＝－(x－25)2＋，
所以当x＝25时，Smax＝(平方米)，
即鸡场的长度为25米时，面积最大．
1．(变条件)将本例中“中间有一道篱笆隔墙”改为“中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙”，结果如何？并将所得结果与原题结果比较，你能得出什么结论？
[解] 设中间有n道篱笆隔墙，则宽为米，设面积为S平方米．
则S＝x·＝－(x2－50x)
＝－(x－25)2＋，所以当x＝25时，Smax＝(平方米)．
由两者比较可知，无论中间有几道篱笆隔墙，要使面积最大，长都是25米．
即使面积最大的值与中间有多少道篱笆隔墙无关．
2．(变问法)本例条件不变，将中间篱笆隔墙的长度设为x米，则要使鸡场面积最大，篱笆隔墙的长度应为多少米？
[解] 设鸡场面积为S平方米，因为篱笆隔墙的长度为x米，则鸡场的长度为(50－3x)米，
则S＝(50－3x)x＝－3x2＋50x＝－32＋，
所以当x＝时，Smax＝，即鸡场篱笆隔墙的长度为米时，鸡场面积最大为平方米．
解二次函数模型的策略
?1?根据实际问题建立函数解析式?即二次函数关系式?.
?2?利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.
?3?解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象.
分段函数模型的应用
[探究问题]
1．分段函数f(x)＝的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？
提示：分段函数f(x)是各段自变量取值范围的并集，即D1∪D2∪…∪Dn，分段函数的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值．
2．解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？
提示：根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是．
【例3】 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
[解] (1)当x≤5时，产品能售出x百台；
当x＞5时，只能售出5百台，故利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)
＝
＝
(2)当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－－0.5，当x＝4.75时得L(x)max＝10.781 25万元．
当x＞5时，L(x)＜12－1.25＝10.75(万元)．
所以生产475台时利润最大．
分段函数模型的求解技巧
?1?在求其解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”.
?2?求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间.
2．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1 200－10x；
即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15 000；
当30＜x≤75，S＝x(1 200－10x)－15 000＝－10x2＋1 200x－15 000；
即S＝
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000＝－10(x－60)2＋21 000，
即x＝60时，Smax＝21 000＞12 000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
1．本节课的重点是二次函数模型，难点是分段函数模型．
2．通过本节课的学习，掌握以下知识与方法
(1)一次函数模型应用题．
(2)二次函数模型应用题．
(3)分段函数模型应用题.
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
(1)甲比乙先出发．( )
(2)乙比甲跑的路程多．( )
(3)甲、乙两人的速度相同．( )
(4)甲先到达终点．( )
[解析] 由图象可知：甲、乙两人同时出发，跑相同的路程，甲先到达终点，因此甲的速度快，由此判断只有(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D [∵自行车x辆，
∴电动车4 000－x辆，
y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.]
3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
2 250 [设彩电的原价为a，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．]
4．某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
[解] 根据题意，得每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的函数关系式是：
y＝
①当0≤x≤400时，由3.75x＝750，得x＝200.
②当400≤x≤600时，
由1.25x＋1 000＝750，
得x＝－200(舍去)．
综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张．
课件45张PPT。第四章 函 数4.3 函数的应用(Ⅰ)234分段函数型直线型抛物线型56789101112一次函数模型的应用13141516171819二次函数模型202122232425分段函数模型的应用26272829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十一) 函数的应用(Ⅰ)
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
B [设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图象过点(1,800)，(2,1 300)，则解得
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300，所以营销人员没有销售量时的收入是300元．]
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x，和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 ( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
C [设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
总利润：y＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30(0≤x≤15且x∈N)，
当x＝9或10时，ymax＝120.]
3．某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法( )
A．① B．②
C．两种一样 D．不能确定
A [若按第①种优惠方法，共需要花费4×20＋26×5＝210(元)，若按第②种优惠方法，共需要花费0.92×(4×20＋30×5)＝211.6(元)，所以选A.]
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( )
A．3 m B．4 m
C．6 m D．12 m
A [设矩形的长为x，则宽为(24－2x)，则矩形的面积为S＝(24－2x)x＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m．]
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
D [由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
2t2＋108t＋400，t∈N [日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即售价为60元时，y取得最大值．]
8．如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) [(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得y＝1.2t(t≥3)．]
三、解答题
9．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
[解] (1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得
解得
所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．
(2)由(1)可知S＝xy－500y＝(－x＋1 000)(x－500)
＝－x2＋1 500x－500 000
＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)，
故当x＝750时，Smax＝62 500.
即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元．
10．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图①表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，图②表示的西红柿种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益，问何时上市西红柿的纯收益最大？
[解] (1)由图①可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝
由图②可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得，
h(t)＝f(t)－g(t)＝
当0≤t≤200时，h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以t＝50时，h(t)在[0,200]上取最大值100；
当200所以t＝300时，h(t)在(200,300]上取最大值87.5.
因此，h(t)在[0,300]上可以取最大值100，此时t＝50.
综上所述，从2月1日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．
[等级过关练]
1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
D [设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.]
2．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9 [设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝由y＝22.6，解得x＝9.]
