4.4 函数与方程
4.4.1 函数的零点
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数零点的概念．(重点)
2.会求一次函数、二次函数的零点．(重点)
3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)
1.通过函数零点概念与零点个数的判断，培养学生的数学抽象素养.
2.借助函数零点的应用提升直观想象、数学运算素养.
函数的零点
(1)定义：
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
(2)性质：
①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．
②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．
思考：怎样判断函数零点的个数？
[提示] (1)转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．
(4)转化为两个函数图象的交点个数问题．
1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( )
A．－2,3 B．2,3
C．(2,0)，(3,0) D．(－2,0)，(－3,0)
B [令－x2＋5x－6＝0，得x1＝2，x2＝3.]
2．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2 C．3 D．4
B [根据函数零点的定义，
f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1.
函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
因此，只有说法②④正确．]
3．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－，，则a＝________，b＝________.
－6 1 [由题意可知解得]
4．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根满足(x1－1)(x2－1)＜0，则a的取值范围是________．
(－2,1) [由(x1－1)(x2－1)＜0，得方程有一根比1大，另一根比1小，令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，只需f(1)＜0，求得－2＜a＜1.]
求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝kx＋b(k≠0)；
(2)f(x)＝2x2－5x＋2；
(3)f(x)＝x3＋2x－3.
[解] (1)f(x)＝k，所以零点为－.
(2)f(x)＝(x－2)(2x－1)，所以零点为2，.
(3)f(x)＝x3－1＋2x－2＝(x－1)(x2＋x＋1)＋2(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋3)，因为x2＋x＋3＝2＋＞0恒成立，所以f(x)零点为1.
求函数零点的两种方法
?1?代数法：求方程f?x?＝0的实数根.
?2?几何法：对于不易求根的方程f?x?＝0，可以将它与函数y＝f?x?的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
0，－ [∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，即b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
∵－ax(2x＋1)＝0，即x＝0或x＝－，
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.]
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－.
[思路探究] (1)中f(x)为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．
[解] (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．
(2)法一：(几何法)由x2－＝0，得x2＝.
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二：(代数法)令f(x)＝0，即x2－＝0.
∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.
∴x＝1或x2＋x＋1＝0.
∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，
∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．
判断函数零点个数的三种方法
?1?利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
?2?画出y＝f?x?的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数.
?3?转化为两个函数图象交点问题.,例如，函数F?x?＝f?x?－g?x?的零点个数就是方程f?x?＝g?x?的实数根的个数，也就是函数y＝f?x?的图象与y＝g?x?的图象交点的个数.
2．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝.
[解] (1)存在．因为f(x)＝－8x2＋7x＋1
＝(8x＋1)(－x＋1)，
所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－和1，
即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－和1.
(2)存在．令f(x)＝0，即＝0，
解方程得x＝－6(x＝2舍去)，
所以函数f(x)＝的零点是－6.
函数零点的应用
[探究问题]
1．设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？
提示：F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？
提示：若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.
【例3】 已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，
(1)有两个零点；(2)有三个零点．
[解] 令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．
(1)若函数有两个零点，则a＝0或a>4.
(2)若函数有三个零点，则a＝4.
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a> B．a>或a<－1
C．－1
B [根据函数零点的性质，f(1)，f(－1)一正一负，f(1)＝a＋1，f(－1)＝－5a＋1，
所以或解得a>或a<－1.]
1．本节课的重点是掌握函数零点的概念，会求函数零点所在区间及判断函数零点的个数，难点是求函数零点所在区间及判断函数零点的个数．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求函数零点的方法．
(2)确定函数零点所在区间的方法．
(3)判断函数零点个数的方法.
1．思考辨析
(1)函数y＝2x－1的零点是.( )
(2)函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是2.( )
(3)若在区间[a，b]上连续函数f(x)满足f(a)f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)上只有一个零点．( )
[解析] (1)零点指的是一个实数并非一个点．
(2)方程2x2－3x＋1＝0中，判别式Δ＝(－3)2－4×2×1＝9－8＝1＞0，
故方程有两个不等实根，
所以函数f(x)＝2x2－3x＋1有2个零点．
(3)如图所示可知说法错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [因为Δ＝12－4×3＝－11<0，二次函数图象与x轴不相交，因此没有零点．]
3．若函数f(x)＝x2－x－m的零点都在区间(0,2)内，则实数m的取值范围是________．
[f(x)＝x2－x－m的零点，即x2－x－m＝0的根，
故原题可转化为方程x2－x－m＝0的根都在(0,2)内，
即m＝x2－x的根都在(0,2)内．
结合y＝x2－x图象(图略)可知，
m的范围是.]
4．已知一次函数f(x)＝ax＋2交x轴于点(2,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)＝2x2－ax的零点．
[解] (1)由题意，2a＋2＝0，解得a＝－1.
(2)由题意，令g(x)＝2x2＋x＝x(2x＋1)＝0，
则x＝0或x＝－，
从而函数g(x)＝2x2－ax的零点为0，－.
课件42张PPT。第四章 函 数4.4 函数与方程
4.4.1 函数的零点234f(α)＝0等于零零点 5保持同号变号678910111213求函数的零点1415161718函数零点个数的判断1920212223242526函数零点的应用272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二) 函数的零点
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )
A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2
C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；2
B [令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.]
2．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
A [因为B，C，D项函数的图象均与x轴有交点，所以函数均有零点，A项的图象与x轴没有交点，故函数没有零点，故选A.]
3．若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
B [由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)·f(4)<0.]
4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 009个，则f(x)的零点个数为( )
A．2 016 B．1 017
C．2 018 D．2 019
D [因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 009个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 009个．
因此f(x)的零点共有1 009＋1 009＋1＝2 019(个)．]
5．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
A [令f(x)＝x2＋ax＋a，方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则f(－2)＝4－2a＋a＝4－a＜0，解得a＞4.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.
2 －8 [∵2，－4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(－4)＝0，
即解得]
7．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
(0,4) [由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
]
8．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点个数为________．
2 [令g(x)＝f(x)－2＝0，即f(x)＝2，当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；当x＞1时，令x2＝2，解得x＝或x＝－(舍去)，所以函数g(x)的零点为，，所以函数g(x)＝f(x)－2有2个零点．]
三、解答题
9．已知函数y＝2x2＋bx＋c在上是减函数，在上是增函数，且两个零点x1，x2满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．
[解] 由题意对称轴x＝－＝－，
所以b＝6.
故y＝2x2＋6x＋c.
又x1＋x2＝－3，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝＝＝2.
所以c＝.经检验Δ＝62－4×2×＞0，
符合题意．
所以所求二次函数为y＝2x2＋6x＋.
10．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)证明：函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
[证明] (1)∵g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－a－b.
∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，
∵a＞0，∴Δ＞0恒成立，
故函数g(x)有两个零点．
(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.
①当c＞0时，有g(0)＞0，又∵a＞0，∴g(1)＝－＜0，
故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．
②当c≤0时，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内有一零点，
综合①②，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
[等级过关练]
1．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
B [因为函数f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上是单调增函数，并且f(x0)＝0，
又因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，
所以f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.]
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1B [令f(x)＝2ax2－x－1，∵f(x)在(0,1)内恰有一个零点，
∴f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，
解得a>1.]
3．已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)且f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，又函数g(x)＝x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数为________．
3 [由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，又f(x)＝f(x＋2)，x∈[0,1]时，f(x)＝x3，故f(x)的图象如图所示．
h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，即y＝f(x)与y＝g(x)的交点个数，由数形结合可知共有3个零点．]
4．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a______________________________________________________．
m所以m5．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解] (1)当m＋6＝0时，
函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则
x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0(m＋6≠0)的两个根．
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，
即＝－4，
∴－＝－4，
解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ＞0符合题意，
∴m的值为－3.
