4.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点)
2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)
1.通过二分法概念和零点类型判断的学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.借助二分法求方程的近似解，培养数学运算和逻辑推理核心素养.
1．零点存在的判定方法
条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.
结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0.
2．零点的分类
3．二分法
(1)定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．
(2)求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：
①在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．
②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝.
计算f(x0)和f(a0)，并判断：
a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．
b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0.
c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝.
计算f(x1)和f(a1)，并判断：
a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．
b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.
c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间[an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．
思考：二分法需要注意的问题有哪些？
[提示] 用二分法求方程近似解应注意的问题为：
①看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
②在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解，如求f(x)＝g(x)的根，实际上是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求曲线y＝f(x)与y＝g(x)交点的横坐标．
③并不是所有函数都可用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
C [由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．]
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．]
3．用二分法研究f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算________，以上横线应填的内容分别是( )
A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25)
C．(0.5,1) f(0.75) D．(0,0.5) f(0.125)
A [f(x)＝x2＋3x－1在(0,0.5)上连续并且f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，使得f(x0)＝0.
根据二分法思想可知在第二次计算时，应计算f(0.25)，故选A.]
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
a2－4b＝0 [f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点，即Δ＝0，所以a2－4b＝0.]
二分法的概念
【例1】 (1)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
[思路探究] (1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．
(1)D (2)(2,3) [(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．]
二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
1．(1)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
(2)下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
(1)A (2)B [(1)只有A中图象没有穿过x轴，主要考查零点左右两侧图象的变化情况．
(2)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．]
函数零点类型的判定
【例2】 判断下列函数是否有变号零点：
(1)y＝x2－5x－14；
(2)y＝x2＋x＋1；
(3)y＝－x4＋x3＋10x2－x＋5；
(4)y＝x4－18x2＋81.
[思路探究] 判断函数是否有变号零点主要依据其定义来判定．
[解] (1)y＝x2－5x－14＝(x＋2)(x－7)，
又∵x＜－2时，y＞0；－2＜x＜7时，y＜0；
x＞7时，y＞0.
∴函数有两个零点，都是变号零点．
(2)y＝x2＋x＋1＝2＋＞0，
∴此函数没有零点．
(3)令f(x)＝－x4＋x3＋10x2－x＋5，
∵f(0)＝5＞0，
f(5)＝－54＋53＋10·52－5＋5＝－250＜0，
∴函数在(0,5)内至少有一个变号零点．
(4)y＝x4－18x2＋81＝(x2－9)2＝(x－3)2(x＋3)2≥0，
∴函数有两个零点：3，－3，它们都是不变号零点．
图象连续不间断的函数f?x?在[a，b]上，若f?a?·f?b?<0，则函数f?x?在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.
提醒：?1?当f?a?·f?b?＞0时，不要轻率地判定f?x?在?a，b?上没有零点，如f?x?＝x2－2x＋，有f?0?·f?2?＝＞0，但x＝1±∈?0，2?是f?x?的两个变号零点.
?2?初始区间的选定一般在两个整数间，如例2?3?选的是0和5.
2．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点．
(1)f(x)＝3x－6；
(2)f(x)＝x2－x－12；
(3)f(x)＝x2－2x＋1；
(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.
[解] (1)零点是2，是变号零点．
(2)零点是－3和4，都是变号零点．
(3)零点是1，是不变号零点．
(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.
用二分法求方程的近似解
[探究问题]
1．函数y＝f(x)的零点与方程f(x)＝0的解有何关系？
提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．
2．如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？
提示：设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．
【例3】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
[思路探究] 构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论．
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
1．本节课的重点是会用二分法求方程的近似解，难点是对二分法定义的准确理解．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)使用二分法的条件．
(2)用二分法求方程的近似解．
3．本节课的易错点是对精确度理解出现偏差而致错．
1．思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
[解析] (1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．
(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．
(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．如图所示，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
A B C D
B [只有变号零点才适合用二分法来求．]
3．图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
11
7
－2
1
6
3
－4
－3
－2
函数f(x)有零点的区间是________．
(2,3)，(3,4)，(6,7) [由零点存在定理可判断函数f(x)有零点的区间是(2,3)，(3,4)，(6,7)．]
4．指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间．
[解] 方程x3－2x－1＝0，即x3＝2x＋1，令F(x)＝x3－2x－1，f(x)＝x3，g(x)＝2x＋1在同一平面直角坐标系中函数f(x)和g(x)的图象如图，显然它们在第一象限只有1个交点，两函数图象交点的横坐标就是方程的解．
又∵F(1)＝－2＜0，F(2)＝3＞0，
∴方程的正根在区间(1,2)内．
课件46张PPT。第四章 函 数4.4 函数与方程
4.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法234一个不间断56f(a0)·f(b0)＜0f(a0)与f(b0)异号7f(a0)·f(x0)＞0f(x0)＝0f(a0)·f(x0)＜08f(a1)·f(x1)＞0f(x1)＝0f(a1)·f(x1)＜091011121314151617二分法的概念18192021222324函数零点类型的判定25262728293031用二分法求方程的近似解3233343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三) 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝x与y＝图象交点的横坐标的大致区间是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
C [依题意，令f(x)＝x－，问题转化为求该函数零点的大致区间．由于f(1)＝1－＜0，f(2)＝2－＞0，
所以f(1)f(2)＜0，且函数y＝f(x)的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y＝x与y＝图象交点的横坐标的大致区间是(1,2)．]
2．下列函数中能用二分法求零点的是( )
C [在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．]
3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于( )
A．[－2,1] B．[2.5,4]
C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]
D [∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，
f(1.75)＝－1.515 625<0.
∴f(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选D.]
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
C [已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]
5．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
C [由于二次函数f(x)＝x2＋mx＋n中的二次项系数大于0，故该函数的图象大致如图所示．
综合上述图象可知应选C.]
二、填空题
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
{x|x＜－2或x＞3} [由表可知，f(－2)＝f(3)＝0，且当x∈(－2,3)时，y＜0，所以当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，ax2＋bx＋c＞0.]
7．某方程有一个无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.
5 [因为≤0.1，得2n≥20，n＞4，所以至少等分5次．]
8．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有唯一解，则a的取值范围为________．
(2，＋∞) [由ax2－x－1＝0在(0,1)内有唯一解，a＝0时不满足，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内有唯一零点，故f(0)·f(1)＜0，即－1×(a－2)＜0，解得a＞2.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围．
[解] 由于函数f(x)的图象的对称轴是x＝－?(0,1)，所以区间(0,1)上的零点是变号零点，因此，有f(0)f(1)＜0，即a(2＋a)＜0，所以－2＜a＜0.
10．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
[证明] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，
从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
[等级过关练]
1．已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)－g(x)＝－x－3，根据所给数表，判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
g(x)
0.37
1
2.72
7.39
20.39
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
C [由列表可知，f(1)＝g(1)－1－3＝2.72－4＝－1.28，f(2)＝g(2)－2－3＝7.39－5＝2.39，
所以f(1)f(2)＜0.所以f(x)的一个零点所在的区间为(1,2)．]
2．设函数f(x)＝若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
3 [由已知得
所以f(x)＝作图象如图所示．
由图象可知，f(x)＝x的解的个数为3.]
