5.1 指数与指数函数
5.1.1 实数指数幂及其运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解n次方根及根式的概念．(重点)
2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)
3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)
4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
1.通过根式与分数指数幂的互化，培养学生的数学运算素养．
2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.
1．有关幂的概念
an＝叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，n∈N＋.并规定a1＝a.
2．零指数幂与负整指数幂
规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝(a≠0，n∈N＋)．
3．整数指数幂的运算法则
am·an＝am＋n，(am)n＝amn.
＝am－n(a≠0)，(ab)m＝ambm.
4．根式的相关概念和性质
(1)根式的概念：
①a的n次方根：使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)的实数x.
②开方运算：求a的n次方根，叫做把a开n次方．
③a的n次算术根：正数a的正n次方根．
④根式：当有意义时的，其中n叫做根指数．
(2)根式的性质：
思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
[提示] a为正数：
a为负数：
零的n次方根为零，记为＝0.
5．分数指数幂
(1)意义：
(2)运算法则：
①前提：a>0，b>0，α，β为任意实数．
②法则：aαaβ＝aα＋β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aα·bα.
思考2：如何理解分数指数幂？
[提示] (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；
(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；
(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．
6．无理指数幂
无理指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．
1.的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．81
A [＝|－3|＝3.]
2．已知x5＝6，则x等于( )
A. B. C．－ D．±
B [由根式的定义知，x＝.]
3．化简[]的结果为( )
A．5 B.
C．－ D．－5
B [[]＝()＝(52) ×＝52×＝5＝.]
4．化简：－＋＝__________.
4 [原式＝－＋
＝－(－2)＋＝4.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 (1)若(x－2)－有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
(2)化简－得( )
A．6 B．－2x
C．6或－2x D．6或2x或－2x
(3)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
①·；②；
③·；④()2·.
[思路探究] 根式化简求值?偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方数为实数．
(1)C (2)C [(1)由负分数指数幂的意义可知，(x－2)－＝，所以x－2>0，即x>2，因此x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)原式＝|x＋3|－(x－3)＝]
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
提醒：在根式与分数指数幂的互化过程中，一定要明确字母的取值范围，以免出错．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
[解]
根式、分数指数幂的化简与求值
【例2】 (1)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
(1)C (2) [(1)由题意＝
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂．
(2)化根式为分数指数幂．
(3)化小数为分数进行运算．
2．化简下列各式(其中字母均表示正数)：
[解] (1)原式＝1＋×＝1＋－＝.
指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把，分别展开是什么？
提示：＝a＋＋2，＝a2＋＋2.
2. 和有什么关系？
提示：＝＋4.
【例3】 已知a＋a－1＝5，求下列各式的值．
[解] (1)因为a＋a－1＝5，
所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝52－2＝23.
本例条件不变，如何求a3＋a－3的值？
[解] 因为a＋a－1＝5，
所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3aa－1]＝5×(25－3)＝110.
条件求值问题的常用方法
?1?整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.
?2?求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.
1．本节课的重点是掌握根式的运算与根式与分数指数幂的互化，难点是根式的化简与求值，有理指数幂的运算．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握根式化简求值的解题思路．
(2)根式与分数指数幂的互化方法．
(3)有条件的根式的化简与求值问题及方法．
3．本节课的易错点是对根式概念理解不透致错以及指数幂运算性质掌握不熟练出现的计算错误.
1．思考辨析
(1)当n∈N＋时，()n都有意义．( )
(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( )
(3)＝π－3.( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
[解析] (1)×.当n是偶数时，()n没有意义．
(2)×.负数没有偶次方根．
(3)√.∵＝|3－π|＝π－3.
∴(3)正确．
(4)×.0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10
D [a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(－1)0无意义；当a≠1时，(－1)0＝1.]
3．计算：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＝______.
[原式＝
＝－1－＋＝.]
4．化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2) .(结果为分数指数幂)
[解] (1)
课件47张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.1 指数与指数函数
5.1.1 实数指数幂及其运算2341n次幂底数指数5ambmam＋namnam－n6根指数xn＝an次方根正n次方根78910111213实数 141516171819根式与分数指数幂的互化20212223242526根式、分数指数幂的化简与求值27282930313233指数式的条件求值问题34353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十四) 实数指数幂及其运算
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．化简等于( )
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
A [
＝
＝
＝
＝|e－1－e|
＝e－e－1.]
2．化简(a>0)的结果是( )
A．a B．a C．a2 D．a
B
3．若＋()n＋1＝0，a≠0，且n∈N*，则( )
A．a>0，且n为偶数 B．a<0，且n为偶数
C．a>0，且n为奇数 D．a<0，且n为奇数
B [由题知a<0，则n＋1为奇数，n为偶数，故选B.]
4.化为分数指数幂，其形式是( )
B
5．下列结论中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．化简：(1－1 [原式＝＝－1(17．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
20
8．若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
－1 [∵有意义，∴2－x≥0.∴x≤2.
∴－|3－x|
＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1.]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
＝＝＝.
因为a>b>0，所以>，
所以＝＝.
[等级过关练]
1．设a－a－＝m，则＝( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
