5.1.2 指数函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过指数函数概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助指数函数图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考：指数函数中为什么规定a>0，且a≠1?
[提示] (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
(2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2．指数函数的图象和性质
a>1
0
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
3.比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [只有选项D符合指数函数的定义．]
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0C [函数y＝ax的图象是下降的，所以01.]
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
A [由1－2x≥0得2x≤1，根据y＝2x的图象可得x≤0，选A.]
4．函数y＝－1的值域是________．
(－1，＋∞) [指数函数y′＝的值域为(0，＋∞)，从而有y′>0，所以y＝－1>－1，所以函数y＝－1的值域为(－1，＋∞)．]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列一定是指数函数的是( )
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝
D．y＝(a－2)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0且a≠1
[思路探究] 根据指数函数的定义判断、求解．
(1)C (2)C [(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝x显然是指数函数；D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知
所以解得a＝3.]
1．判断一个函数是指数函数的方法
指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1；
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数求参数值的方法
(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．
(2)解不等式与方程求出参数的值．
提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．
1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)3x (2)∪(1，＋∞) [(1)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
(2)由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的定义域和值域
【例2】 (1)求下列函数的定义域和值域：
①y＝；
②y＝；
③y＝4x＋2x＋1＋2.
(2)求函数y＝2x－x2的值域与单调区间．
[思路探究] (1)―→
(2)指数函数的图象与性质及复合函数的单调性与值域?用换元法将其化为指数函数．
[解] (1)①要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．
②要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所＝＝1，即函数的值域为{y|y＝1}．
③因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
(2)令t＝2x－x2，则y＝，而t＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝t≥，故所求函数的值域为.
因为，由于二次函数t＝2x－x2的对称轴为x＝1，可得函数t在(－∞，1]上是增函数，函数y在(－∞，1]上是减函数，故函数y的减区间是(－∞，1]．
函数t在(1，＋∞)上是减函数，函数y在(1，＋∞)上是减函数，故函数y的增区间是(1，＋∞)．
1．函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝af(x)的定义域即y＝f(x)的定义域．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
2．复合函数的单调性
与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．
提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论．
2．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)＝a2x－ax－2＋8，x∈[－2,1]的值域．
[解] (1)把代入f(x)＝ax－1，得a＝.
(2)由(1)得g(x)＝＋8＝＋4，
因为x∈[－2,1]，
所以∈，
当＝4时，g(x)max＝8，
当＝2时，g(x)min＝4，
所以函数g(x)的值域为[4,8]．
指数函数的图象
[探究问题]
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？
提示：法一：(平移法)∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数图象过定点(1,3)．
法二：(解方程法)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中，令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象可能在第三或第四象限吗？为什么？
提示：不可能．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限．
3．从左向右，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？
提示：当00且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势．指数函数的图象下凸．
【例3】 (1)下列几个函数的图象如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.
则a，b，c，d与0和1的关系是( )
A．0C．0(2)已知函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(2,5]
C．(1,2) D．(1,5]
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(1)B (2)B (3)[－1,1] [(1)由指数函数图象得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c>d>1，反之，1>a>b>0，所以0(2)因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2，因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，
所以a≤5，所以a的取值范围是(2,5]．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．]
1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
3．(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
D [∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
A中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；
B中，从图象上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；
C中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，
∴只有选项D的图象符合以上两条，故选D.]
(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是( )
A [y＝a－|x|＝|x|，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]
1．本节课的重点是掌握指数函数的概念、指数函数的图象与性质，难点是指数函数的图象与性质．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握指数函数的三个特征．
(2)与指数函数有关的函数图象及处理方法．
3．本节课的易错点是对指数函数理解不够深刻，在解与指数函数有关的函数定义域和值域时致错．
1．思考辨析
(1)函数y＝－2x是指数函数．( )
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )
(4)指数函数的图象一定在x轴上方．( )
[解析] (1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
(4)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x轴的上方．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点( )
A．(－1，－1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(－1，－3)
A [令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝ax＋1－2的图象恒过点(－1，－1)．]
3．已知>，则a，b的大小关系为__________．
a，所以>，而函数y＝是R上的减函数．故a4．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝2x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．
(1)估计它们的交点坐标，并加以验证；
(2)在哪个区间上，f(x)的值小于g(x)？在哪个区间上，f(x)的值大于g(x)?
[解] 在同一坐标系中画出两函数图象(如图所示)．
(1)经验证，两函数的交点坐标为(0,1)，(3,8)．
(2)在(0,3)上有f(x)＞g(x)，在(－∞，0)和(3，＋∞)上有g(x)＞f(x)．
课件54张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.1 指数与指数函数
5.1.2 指数函数234y＝ax 567(0，＋∞)(0,1)y>101增函数减函数8中间值单调性图象91011121314指数函数的概念15161718192021指数函数的定义域和值域22232425262728293031指数函数的图象32333435363738394041424344454647484950515253点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十五) 指数函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各函数中是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
D [根据指数函数的定义，y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．]
2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A. B.
C. D.
A [y＝3－x－1，x∈[－2,2)是减函数，
∴3－2－1即－3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
A [由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上a>b>c.]
4．若，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
B [∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．函数的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
C [设t＝x2＋2x－1，则y＝.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0,4]．]
二、填空题
6．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
π [由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则知C2的底数7．已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝__________.
或 [(1)若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，∴a＝.
(2)若08．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.
[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①
得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，∴a＝2，
∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.]
三、解答题
9．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．
10．设函数f(x)＝－.
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
[解] (1)证明：由题意，得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，
f(－x)＝－＝－＝
＝＝－＋＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＝.
∵x1又∵2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.
∴函数f(x)在[1,2]上的值域为.
[等级过关练]
1．定义一种运算：g⊙h＝已知函数f(x)＝2x⊙1，那么函数y＝f(x－1)的大致图象是( )
B [f(x)＝
∴f(x－1)＝
∴其图象为B，故选B.]
2．设<<<1，则( )
A．aaC．abC [由已知条件得03．f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.
－3 [f(x)为奇函数，f(0)＝0可得b＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]
4．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[∵f(x)是R上的减函数，
∴解得5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在①中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．
[解] (1)由图象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝(负值舍去)，因此a＝，b＝－3.
(2)f(x)单调递减，所以0即a0＋b<0，所以b<－1.
(3)由(1)得f(x)＝()x－3，在同一坐标系中画出函数y＝|f(x)|和y＝m的图象．
观察图象可知，当m＝0或m≥3时，两图象仅有一个交点，故|f(x)|＝m有且仅有一个实数解时，m的取值范围是{m|m＝0或m≥3}.
