5.2 对数与对数函数
5.2.1 对数及其运算
第1课时 对数概念与常用对数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)
2．理解对数的底数和真数的取值范围．(易混点)
3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)
1.通过对数定义及相关概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．通过对数性质的学习，培养数学运算核心素养.
1．对数的定义及相关概念
(1)在指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)中，x叫做以a为底y的对数．
(2)对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a＞0，且a≠1)，其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
(3)对数恒等式：.
(4)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N.
思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？
[提示] (1)指数式和对数式的关系如图所示：
(2)指数式和对数式各部分的名称：
式子
名称
a
b
N
指数式
ab＝N
底数
指数
幂
对数式
logaN＝b
底数
对数
真数
2.对数的性质
性质1
负数和0没有对数
性质2
1的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)
性质3
底的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)
1．把对数式x＝lg 2化为指数式为( )
A．10x＝2 B．x10＝2
C．x2＝10 D．2x＝10
A [根据指数式与对数式的互化可知x＝lg 2化为指数式为10x＝2.]
2．若log8x＝－，则x的值为( )
A. B．4 C．2 D.
A
3．＝________.
3
4．
＝.]
对数的概念
【例1】 (1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；
(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．
[思路探究] 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．
(1) (2)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是.
(2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]
根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式?组?，可求得对数式中字母的取值范围.
1．对数式中实数x的取值范围是________．
∪(2，＋∞) [由题意可得解得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．]
指数式与对数式的互化
【例2】 (1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：
(2)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值．
[思路探究] (1)根据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N >0)求解；
(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．
[解] (1)①因为43＝64，
1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N >0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
2．已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
[解] 根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3，
由loga2＝m及对数的定义可得am＝2，
所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
对数的性质与对数恒等式
[探究问题]
1．是不是所有的实数都有对数？
提示：不是，负数和0没有对数．
2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？
提示：因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1.
3．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得＝N.
【例3】 (1)设25，则x的值等于( )
A．10 B．13
C．100 D．±100
(2)求x的值：
[思路探究] (1)利用对数恒等式求解；
(2)利用“底数”的对数为1，“1”的对数为0，由外到内逐层求解．
(1)B [由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.]
(2)解：①由l
得
解得x＝－2.
②∵＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
对数恒等式的应用
(1)能直接应用对数恒等式的，直接求值即可．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解：
(1) (2)0 [(1)由题知10a＝2,10b＝3，
1．本节课的重点是掌握对数的概念及性质、对数恒等式，难点是对数性质及对数恒等式的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握指数式与对数式的互化关系．
(2)对数性质的应用．
(3)对数恒等式的应用．
3．本节课的易错点是弄错对数恒等式的适用条件.
1．思考辨析
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )
(2)对数式log32与log23的意义一样．( )
(3)因为1a＝1，所以log11＝a.( )
(4)log(－2)(－2)＝1.( )
[解析] (1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；
(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；
(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错；
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．对数式b＝log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)
C [要使对数式b＝log(a－2)(5－a)有意义，则解得a∈(2,3)∪(3,5)．]
20
4．求下列各式中的x.
(1)log2x＝－；
(2)log5(log2x)＝0.
[解]
(2)log2x＝1，x＝2.
课件39张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.2 对数与对数函数
5.2.1 对数及其运算
第1课时 对数概念与常用对数b等于以a为底N的对数logaNb＝logaN(a＞0，且a≠1)底数真数lg N101负数和0001对数的概念指数式与对数式的互化对数的性质与对数恒等式点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 对数的运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点)
1.通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养．
2．通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养.
1．对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2．换底公式与自然对数
(1)对数换底公式
logbN＝(b>0，且b≠1，N>0，a>0，且a≠1)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
(2)自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作ln_N.
思考：如何准确的应用换底公式？
[提示] (1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．
(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．
如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．
①logab＝；②logambn＝logab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
1．计算lg 4＋lg 25＝( )
A．2 B．3 C．4 D．10
A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.]
2．计算log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
C [原式＝log3224·log2334＝log32·log23＝.]
3．下列结论正确的是( )
A．loga(x－y)＝logax－logay
B.＝logax－logay
C．loga＝logax－logay
D．loga＝
C [由对数的运算性质，知A，B，D错误，C正确．]
4．若3a＝2，则2log36－log38＝________.
2－a [∵3a＝2，
∴a＝log32，
∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.]
利用对数的运算法则求值
【例1】 (1)计算8－＋2lg 2－lg 的值为________．
(2)计算：log3＋lg 4＋lg 25＋0＝________.
(3)计算：
①lg；
②log2(47×25)；
③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.
(1) (2) [(1)原式＝(23)＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝＋lg(4×25)＝＋2＝.
(2)原式＝＋lg 102＋1＝＋2＋1＝.]
(3)解：①lg＝lg 102＝lg 10＝.
②log2(47×25)＝log247＋log225
＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.
③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)
＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
计算下列各式的值：
(1)lg －lg＋lg；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解] (1)原式＝(lg 25－lg 72)－lg 2＋lg(72×5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.
对数的运算法则的综合应用
【例2】 (1)已知log312＝a，试用a表示log324；
(2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg.
[思路探究] 对数运算?对数运算法则的应用．
[解] (1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，
所以log32＝，log324＝log3(8×3)
＝1＋3log32
＝1＋3×＝.
(2)因为108＝4×27＝22×33，所以
lg＝lg 108＝lg(22×33)
＝lg 22＋lg 33＝lg 2＋lg 3＝a＋b.
1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a，b表示lg ？
[解] lg＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2)
＝2b＋a－1.
2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a，lg 15＝b”，结果如何？
[解] 由已知得即
解得
所以lg＝lg 108
＝lg(22×33)
＝(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋lg 3
＝＋×
＝
＝.
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.
对数换底公式的应用
[探究问题]
1．假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？
提示：进一步可以得到x＝log35，即log35＝.
2．由探究1，你能猜测与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？
提示：＝logab.假设＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以＝logab.
【例3】 已知3a＝4b＝c，且＋＝2，求实数c的值．
[思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．
[解] 由3a＝4b＝c，得：a＝log3c，b＝log4c，
所以＝＝logc3，＝＝logc4.
又＋＝2，
所以logc3＋logc4＝logc12＝2，
即c2＝12，又3a＝4b＝c>0，所以c＝2.
3．(变条件)将本例中的条件“＋＝2”改为“－＝2”，则实数c又为多少？
[解] 由3a＝4b＝c得：
a＝log3c，b＝log4c，
所以＝＝logc3，＝＝logc4.
又－＝2，
所以logc3－logc4＝logc＝2，
即c2＝，又3a＝4b＝c>0，所以c＝.
4．(变结论)将本例条件改为“已知正数a，b，c满足3a＝4b＝6c”，求证：－＝.
[证明] 设3a＝4b＝6c＝k(k>1)，
则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，
所以－＝－＝logk6－logk3
＝logk＝logk2，＝＝logk4＝logk2，
所以－＝.
应用换底公式应注意的两个方面
?1?利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
?2?题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
1．本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式，难点是对数运算性质的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握对数运算性质的应用技巧．
(2)弄清对数换底公式在求值中的应用．
3．本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误.
1．思考辨析
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)logaxy＝logax·logay.( )
(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．( )
[解析] (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；
(2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay；
(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
C [lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x，则x＝1010，则③错误；若e＝ln x，则x＝ee，则④错误．]
3．
3
4．计算下列各式的值：
(1)；
(2)3log72－log79＋2log7.
[解] (1)原式＝＝＝＝1.
(2)原式＝log723－log79＋log7
＝log7＝log71＝0.
课件46张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.2 对数与对数函数
5.2.1 对数及其运算
第2课时 对数的运算nlogaMlogaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNklogaM－logaN1 ln N e利用对数的运算法则求值对数的运算法则的综合应用对数换底公式的应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十六) 对数概念与常用对数
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若a2 019＝b(a>0，且a≠1)，则( )
A．logab＝2 019 `B．logba＝2 019
C．log2 019a＝b D．log2 019b＝a
A [若a2 019＝b(a>0，且a≠1)，则2 019＝logab.]
2．当a>0，且a≠1时，下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
B [在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．]
3．log3等于( )
A．4 B．－4 C. D．－
B [log3＝log33－4＝－4.]
4．log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于( )
A. B. C. D.
C [∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3.∴x＝23＝8.
5．
A．9＋ B．9＋ C．9 D．10
C 选C.]
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.
2 [由题意得2x－1＝3，∴x＝2.]
7．已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是________．
(－2,0)∪(0,1) [根据对数的定义，得解得－2
8．设f(3x)＝log2，则f(1)＝________.
[由已知令x＝，则有：f(1)＝f＝log2＝log2＝log2 2＝.]
三、解答题
9．求下列各式中x的值．
(1)log5(log3x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)lg[log2(lg x)]＝0.
[解] (1)设t＝log3x，则log5t＝0，∴t＝1，
即log3x＝1，∴x＝3.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)∵lg[log2(lg x)]＝0，∴log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，∴x＝102＝100.
10．
[等级过关练]
1．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0 C．x D．y
B [由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，
∴logx(yx)＝log2(12)＝0.]
2．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
x＝log23 [原方程可化为(2x)2－2·2x－3＝0，
∴(2x＋1)(2x－3)＝0，∴2x＝3，∴x＝log23.]
课时分层作业(二十七) 对数的运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
B [利用对数的换底公式进行验证，
logab·logca＝·logca＝logcb，则B正确．]
2．lg －2lg ＋lg 等于( )
A．lg 2 B．lg 3 C．lg 4 D．lg 5
A [法一：lg －2lg ＋lg ＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2.
法二：lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.]
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75等于( )
A．a＋b B．a－b
C. D.
D [log75＝＝.]
4．已知函数f(x)＝则f的值是( )
A．9 B.
C．－9 D．－
B [f＝f＝f(log33－2)＝f(－2)＝3－2＝.]
5．若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1 B.
C．2 D．－1
A [＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.]
二、填空题
6．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
20 [∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，
∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.]
7．计算－log98·log4＝________.
2 －log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.]
8．已知x，y∈(0,1)，若lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.
0 [lg(x＋y)＝lg x＋lg y＝lg(xy)?x＋y＝xy，
lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg 1＝0.]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)log89·log2732－(－1)lg 1＋log535－log57.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)log89·log2732－(－1)lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
10．2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长6.7%，那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.067≈0.028 2，精确到1年)．
[解] 设经过x年国民生产总值为2018年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋6.7%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋6.7%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋6.7%)x＝2a，
∴1.067x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.067＝lg 2.
∴x＝≈≈11.
故约经过11年，国民生产总值是2018年的2倍．
[等级过关练]
1．已知f(x)＝x＋log2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为( )
A．37 B．6 C．36 D．9
C [∵f(x)＝x＋log2，
∴f(x)＋f(9－x)＝＋＝9.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝[f(1)＋f(8)]＋[f(2)＋f(7)]＋[f(3)＋f(6)]＋[f(4)＋f(5)]＝9×4＝36.]
2．已知函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义：使f(1)×f(2)×f(3)×…×f(k)为整数的数k(k∈N*)叫作企盼数，则在区间[1,1 000]内这样的企盼数的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
B [ 因为函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，
所以f(1)＝log23，f(2)＝log34，…，f(k)＝logk＋1(k＋2)．
所以f(1)×f(2)×…×f(k)＝log23·log34·…·logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)．若f(1)×f(2)×…×f(k)为整数，则k＋2＝2n(n∈Z)，又因为k∈[1,1 000]，故k∈{2,6,14,30,62,126,254,510}．所以在区间[1,1 000]内这样的企盼数共有8个．]
3．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝________.
1 [∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxc＝，logxb＝.
∴logabcx＝＝＝1.]
4．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震的能量是B地地震能量的___________倍．
10 [由R＝(lg E－11.4)，
得R＋11.4＝lg E，故E＝.
设A地和B地地震能量分别为E1，E2，
则＝10＝10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍．]
5．已知lg a，lg b 是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 由题设，得lg a＋lg b＝2，lg a ·lg b＝.
所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12.
