5.2.2 对数函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)
2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)
3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
1.通过对数函数定义的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．
2．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象与性质
定义
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
过定点
图象过点(1,0)，即loga1＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
思考：函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？
[提示] 观察图象，总结变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0
(2)左右比较(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
1．下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
C [选项A中，y＝ax的定义域为R，y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}；
选项B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≥0}；
选项C中，函数的定义域均为{x|x>0}；
选项D中，y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}．]
2．下列不等号连接错误的一组是( )
A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>logeπ
D [函数y＝logπx在定义域上单调递增，e<π，则logπelogee＝1，则logπe3．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[由题意可得0<3a－1<1，解得所以实数a的取值范围是.]
4．函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
(2,2) [因为函数y＝logax(a>0且a≠1)恒过定点(1,0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)恒过定点(2,2)．]
对数函数概念的应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx，其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(1)D (2)4 [(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得a＝4.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
4 [由题意可知解得a＝4.]
对数函数的定义域、值域问题
【例2】 (1)已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)求下列函数的定义域：
①y＝；
②f(x)＝；
③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[思路探究] (1)代入a的值?对数运算?解方程．
(2)对数函数的性质?构建不等式组?解不等式组．
(1)C [∵f(a)＝1，
∴log3(a＋1)＝1，
即a＋1＝3，∴a＝2.故选C.]
(2)解：①由题意得
即也即x≤1.
故函数y＝的定义域为{x|x≤1}．
②由得x<4且x≠3.
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
③由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
1．(变条件)把本例(2)①函数变成“y＝”，结果如何？
[解] 由题意可知
所以
所以即1≤x<2.
故函数y＝的定义域为{x|1≤x<2}．
2．(变结论)把本例(2)①中x的范围限定为[－8,1]，求函数的值域．
[解] 因为y＝在x∈[－8,1]上为减函数，所以ymax＝＝1，ymin＝＝0.
所以函数的值域为[0,1]．
求与对数函数有关的定义域时应注意的两点
?1?要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等.
?2?遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式.
对数函数的图象及性质
[探究问题]
1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？
提示：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(x)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2)．
2．从左向右，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？
提示：当00且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．
3．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小，必有a4>a3>1>a2>a1>0.
【例3】 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．0(2)已知函数f(x)＝|lg x|，若0A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[思路探究] (1)已知对数函数的图象?图象平移规律求解．
(2)作对数函数图象?图象变换?构建关于a，b的方程?研究函数单调性求解．
(1)D (2)C [(1)∵函数单调递减，∴01，∴c>0，
当x＝0时，loga(x＋c)＝logac>0，即c<1.
∴0(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|，
所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋2b＝a＋，又0由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C.]
1．画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1)和.
2．常见的函数图象的变换技巧
(1)y＝f(x)y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)y＝|f(x)|.
(3)y＝f(x)y＝f(－x)．
(4)y＝f(x)y＝－f(x)．
2．函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
C [∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A、D；当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝a－x＝x是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.]
1．本节课的重点是掌握对数函数的概念、对数函数的图象及性质，难点是对数函数的图象与性质及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握对数函数的三个特征．
(2)与对数函数有关的函数图象及处理方法．
(3)掌握与对数函数有关的函数定义域的求法．
3．本节课的易错点是求与对数函数有关的定义域时漏掉底数大于零且不等于1的规定，或漏掉真数大于0的限制条件.
1．思考辨析
(1)函数y＝logx是对数函数．( )
(2)函数y＝2log3x是对数函数．( )
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )
[解析] (1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝x＋a与函数y＝logax的图象可能是( )
A B C D
C [因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0.同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除D.当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B，同理排除A.]
3．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
[|log3x|＝0，则x＝1，
|log3x|＝1，则x＝或3.作图，由图可知(b－a)min＝1－＝.]
4．(1)已知log0.72x(2)若－1[解] (1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.72x1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
(2)因为－1当a>1时，<.
当0>a，所以0所以a的取值范围是∪.
课件52张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.2 对数与对数函数
5.2.2 对数函数2345(0，＋∞) 6增函数减函数(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴789101112131415对数函数概念的应用1617181920对数函数的定义域、值域问题2122232425262728对数函数的图象及性质2930313233343536373839404142434445464748495051点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十八) 对数函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
A [由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.]
2．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
D [由题意得解得x≥4.]
3．函数y＝|log2x|的图象是图中的( )
A [有关函数图象的变换是高考的一个考点，由翻折变换的特征，可知这个函数是由y＝log2x经上折而得到的．]
4．函数y＝1＋log (x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
C [∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，而y＝1＋log (x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1,0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1)，故函数y＝1＋log (x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.]
5．设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
D [因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，
log7＝log72－1，log32>log52>log72，故a>b>c.]
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(x＋3)＋(a>0，a≠1)的图象恒过定点P，且点P在函数y＝bx(b>0，b≠1)上，则b＝________.
[f(x)＝loga(x＋3)＋恒过定点P，所以b－2＝，解得b＝.]
7．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
[由题意，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈.]
8．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围是________．
(1,2) [令u＝2－ax，∵a>0且a≠1，
∴u在[0,1]上为减函数，
即y＝logau为增函数，∴a>1.
又∵2－ax>0，∴a<2，
∴1三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
[解] (1)要使函数有意义，则有>0，即或
解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
10．设函数f(x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)的定义域为.
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
[解] (1)∵t＝log2x为单调递增函数，而x∈，
∴t的取值范围为，即t∈[－2,2]．
(2)记t＝log2x，则
y＝f(x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)(－2≤t≤2)．
∵y＝－在上是减函数，在上是增函数，
∴当t＝log2x＝－，即x＝2－＝时，
y＝f(x)有最小值f＝－；
当t＝log2x＝2，即x＝22＝4时，
y＝f(x)有最大值f(4)＝12.
[等级过关练]
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(log2x)>f(1)，则x的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B.
C.∪(2，＋∞)
D．(0,1)∪(2，＋∞)
C [∵f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(log2x)>f(1)?|log2x|>1，
即log2x>1或log2x<－1，
解得x>2或02.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0B．0C．0D．0A [令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数y＝logag(x)是单调递增的，所以必有a>1.
又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，
即－1故a－13．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
[由题意可知，f(log4x)<0?－4．设函数f(x)＝若函数f(x)在(a，a＋1)上递增，则a的取值范围是__________．
(－∞，1]∪[4，＋∞) [当x≤4时，f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，则f(x)在(－∞，2]上单调递增，在(2,4]上单调递减，
当x>4时，f(x)＝log2x在(4，＋∞)上单调递增，
由于f(x)在(a，a＋1)上递增，所以a＋1≤2或a≥4，即a≤1或a≥4.]
5．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
[解] (1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R.
当a＝0时，x>－，这与x∈R矛盾，∴a≠0，
因此，不等式需满足解得a>1.
∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)值域为R，
设t＝ax2＋2x＋1的值域为A，则(0，＋∞)?A，
①当a＝0时，t＝2x＋1，与题意相符；
②当a≠0时，结合二次函数的性质，得
解得0综上所述，实数a的取值范围是[0,1].
