5.2.3 指数函数与对数函数的关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系．(重点)
2．利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异．
3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题．(难点)
1.通过反函数概念及指数函数与对数函数图象间的关系学习，培养学生的直观想象素养．
2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
1．反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．称这两个函数互为反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．
思考：如何准确理解反函数的定义？
[提示] (1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．
(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是一一映射时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它不是一一映射．
(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称．
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
A [y＝ax的反函数为f(x)＝logax，
则1＝loga2，所以a＝2.
所以f(x)＝log2x.]
2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( )
A．(1,1) B．(1,5)
C．(5,1) D．(5,5)
C [原函数与它的反函数的图象关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图象过(1,5)，而(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必过点(5,1)．]
3．函数f(x)＝x的反函数为g(x)，那么g(x)的图象一定过点________．
(1,0) [f(x)＝x的反函数为g(x)＝logx，所以g(x)的图象一定过点(1,0)．]
4．函数y＝x＋3的反函数为__________．
y＝x－3(x∈R) [由y＝x＋3得x＝y－3，
x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．]
求函数的反函数
【例1】 求下列函数的反函数．
(1)y＝x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)．
[思路探究] 根据原函数反解x?x，y互换?原函数的定义域即为反函数的值域．
[解] (1)由y＝x，得x＝logy，
且y>0，
∴f－1(x)＝logx(x>0)．
(2)由y＝5x＋1，得x＝，
∴f－1(x)＝(x∈R)．
(3)由y＝x2得x＝±.因为x≤0，
所以x＝－.
所以f－1(x)＝－(x≥0)．
求反函数的一般步骤
(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．
(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数．
提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．
1．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R)
B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)
D [由题意知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，y＝ex>0，所以f(x)＝ln x(x>0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．]
指数函数与对数函数图象之间的关系
【例2】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象只能是( )
A B C D
(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是图中的( )
A B
C D
(1)C (2)A [(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．
(2)因为a>1时，y＝a－x＝x,0<<1是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A.]
互为反函数的图象特点
?1?互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数.
?2?互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
?3?若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数.
2．若函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值为________．
－1 [由y＝可得x＝，则原函数的反函数是y＝，所以＝，得a＝－1.]
指数函数与对数函数的综合应用
[探究问题]
1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图象，指出两个函数的增长有怎样的差异？
提示：根据图象(图略)，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．
2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？
提示：
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
图象
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
性质
当x>0时，y>1；当x<0时，0
当x>1时，y>0；当0【例3】 已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2.
[思路探究] (1)判断奇偶性?奇偶性定义．
(2)求反函数?反解，改写，标注定义域．
(3)对数不等式?构建不等式组?解不等式组?得出解集．
[解] (1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝.
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1所以f－1(x)＝log2(－1(3)因为f－1(x)>log2，即log2>log2，
所以所以
所以当0当k≥2时，原不等式的解集为{x|－11．(变条件)本例变为“若f(x)为奇函数”，求a的值．
[解] 由奇函数定义可得f(－x)＝－f(x)，即＝－，
可变形为a－2x＝1－a·2x，所以a＝1.
2．(变结论)本例中的条件不变，如何判断f－1(x)的单调性，并给出证明．
[解] 由原题解答知：f－1(x)＝log2(－1任取－1令t(x)＝＝＝－1＋，所以t(x1)－t(x2)＝－
＝－＝
＝.
因为－10,1－x2>0，x1－x2<0，所以t(x1)－t(x2)<0，t(x1)所以log2t(x1)解对数不等式的常见解法
?1?借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集.
?2?底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论.
1．本节课的重点是反函数的概念及它们的图象间的关系，难点是指数函数、对数函数的综合应用．
2．本节课要掌握的规律方法
(1)了解反函数的概念．
(2)互为反函数的图象间的关系．
(3)能够利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异．
3．本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域.
1．思考辨析
(1)函数y＝x的反函数是y＝logx.( )
(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.( )
(3)函数y＝ex的图象与y＝lg x的图象关于y＝x对称．( )
[解析] (1)×.函数y＝x的反函数是y＝logx(x>0)．
(2)×.函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)．
(3)×.互为反函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图象与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，函数y＝lg x的图象与y＝10x的图象关于直线y＝x对称．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )
A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)
B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)
C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)
D．f(x)＝，x∈(0，＋∞)
D [f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f－1(x)＝，x∈(0，＋∞)．]
3．已知函数f(x)＝2x＋1，则f－1(4)＝________.
1 [由2x＋1＝4，得x＝1，∴f－1(4)＝1.]
4．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过(1,7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4,0)，求f(x)的表达式．
[解] ∵y＝f－1(x)过(4,0)点，
∴y＝f(x)过点(0,4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，
又∵f(x)＝ax＋b过点(1,7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.
课件44张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.2 对数与对数函数
5.2.3 指数函数与对数函数的关系234y＝f－1(x)自变量因变量56y＝x互为反函数789101112求函数的反函数131415161718指数函数与对数函数图象之间的关系192021222324指数函数与对数函数的综合应用25262728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十九) 指数函数与对数函数的关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为( )
A．x＝2－y B．x＝y－2
C．y＝2－x(x∈R) D．y＝x－2(x∈R)
D [由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)．]
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
C [y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.]
3．设f(x)＝则f(f(2))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [f(f(2))＝f(log3(22－1))＝f(1)＝2·e1－1＝2.]
4．函数y＝ex＋1的反函数是( )
A．y＝1＋ln x (x>0)
B．y＝1－ln x (x>0)
C．y＝－1－ln x (x>0)
D．y＝－1＋ln x (x>0)
D [由y＝ex＋1得x＋1＝ln y，
即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0)．故选D.]
5．设a＝，b＝，c＝logx，若x>1，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．cC [∵x>1，
∴a＝<＝，b＝>＝1，
∴0∴c二、填空题
6．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图象过点(2,4)，则a的值为________．
4 [因为y＝f－1(x)的图象过点(2,4)，所以函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，又因为f(x)＝1＋logax，
所以2＝1＋loga4，即a＝4.]
7．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a，b的值分别为__________．
，－6 [由题知y＝ax＋2与y＝3x＋b互为反函数，而y＝ax＋2的反函数为y＝x－，
所以y＝x－与y＝3x＋b为同一函数，
所以解得]
8．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1__________Δy2(填“>”“＝”或“<”)．
< [底数大于1时，由于对数函数在x∈(1，＋∞)上的增长速度小于指数函数的增长速度，即y2＝3x比y1＝log3x增长得快．所以Δy1<Δy2.]
三、解答题
9．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
[解] 因为y＝2x＋1，x<0，所以0<2x<1，所以1<2x＋1<2.所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．
所以f－1(x)＝log2(x－1)(110．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
[解] (1)要使函数有意义，必须ax－1>0，
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，设0故0∴f(x1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)．
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.
[等级过关练]
1．已知函数y＝的图象关于y＝x对称，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [由题意可知函数y＝的反函数为其本身，xy＋y＝ax，x＝.所以反函数为y＝.所以a＝－1.]
2．将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象( )
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
D [将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图象即可得到．故选D.]
3．函数y＝的反函数是________．
y＝ [当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝]
4．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是__________．
[∵f(27)＝3，∴loga27＝3，解得a＝3.
∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x.
5．设a>0，且a≠1，函数有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
[解] 设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值，为2.
∵有最大值，∴0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，则f(x)＝logau(x)．
∵u(x)＝3－2x在上是减函数，0∴f(x)＝logau(x)在上是增函数．
∴f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为，无单调减区间．
