5．3 幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易错点)
3．能利用幂函数的图象与性质解决综合问题．(难点)
1.通过幂函数概念与图象的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考：幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？
[提示] 幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数的图象与性质
(1)五个常见幂函数的图象：
(2)五个常见幂函数的性质：
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
C [形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
A [y＝x－1的定义域不是R，即B、C、D都排除，只有y＝x与y＝x3的定义域为R，且为奇函数．]
3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝ D．y＝x
A [结合函数图象，易知y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选A.]
4．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)＝______.
2 [设f(x)＝xα，∵图象过点(2，)，∴α＝，∴f(4)＝4＝2.]
幂函数的概念
【例1】 函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[解] 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
1．已知f(x)＝(m2＋2m) ，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？
(2)反比例函数？
(3)二次函数？
(4)幂函数？
[解] (1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
所以m＝－1±.
幂函数的图象和性质
【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
[思路探究] (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．
(1)B [考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n>0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n<0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.]
(2)解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)<(5－2a).
因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a
幂函数的性质如下：
(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
(2)若α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上．
(3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
2．幂函数y＝ (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．－1C．1或3 D．0,1,2或3
D [幂函数不过原点，且在第一象限内单调递减，则m2－3m－4<0，解得－1幂值的大小比较
[探究问题]
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当a>1时，函数y＝ax单调递增；当00时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．
[思路探究] (1)利用函数y＝x0.5的单调性比较大小；(2)利用函数y＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量比较大小．
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，
∴>.
(3)∵函数y1＝为R上的减函数，
又>，
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
3．比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－3.143与－π3.
[解] (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，
∴0.5>0.5.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，
∴－3.143>－π3.
1．本节课的重点是掌握幂函数的概念、图象及性质，难点是幂函数图象与性质的简单应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断幂函数的方法．
(2)解决幂函数图象的两个原则．
(3)比较幂值大小的方法．
3．本节课的易错点是对幂函数的图象掌握不准而致错．
1．思考辨析
[解析] (1)√.函数符合幂函数的定义，所以是幂函数．
(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数．
(3)×.幂函数y＝x2过第二象限．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
D [A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．]
3．函数y＝x的图象是( )
B [由－f(x)＝f(－x)说明函数是奇函数．同时当0＜x
4．比较下列各组数的大小：
[解]
课件47张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.3 幂函数234y＝xα(α∈R) 常数 x 567891011121314幂函数的概念1516171819幂函数的图象和性质20212223242526272829幂值的大小比较3031323334353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十) 幂函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
A [设幂函数为f(x)＝xα，又因为图象过点，所以解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数 ，因此A正确，B、C、D错误．]
2． ( )
A B C D
B [y＝x的指数>1，只有B正确．]
3．
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
C 解得a＝－1.]
4．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
5．则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
二、填空题
6．已知幂函数f(x)存在反函数f－1(x)，且f－1(3)＝，则幂函数的表达式为__________．
y＝x－3 [∵f－1(3)＝，∴f＝3.
设幂函数为y＝xα，∴α＝3.
∴α＝－3，∴幂函数为y＝x－3.]
7．
8．．
{0,2} [幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2.则实数m的取值集合为{0,2}．]
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)·xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若a≤2，判断y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上的单调性并用定义加以证明．
[解] (1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－.
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；
所以f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝x2－2ax＋1，对称轴为x＝a≤2，
所以y在区间(2,3)上单调递增．
设x1，x2∈(2,3)，且x1所以Δy＝y1－y2＝x－x＋2a(x2－x1)＝(x1－x2)(x1＋x2－2a)＝(x1－x2)(x1－a＋x2－a)，
因为Δx＝x1－x2<0，a≤2，x1－a>0，x2－a>0，
所以Δy<0，所以y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上单调递增．
10．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[解] (1)由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)∵f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[等级过关练]
B [令f(x)＝x＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得2．已知f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．fC [因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，
又03．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log8f(2)的值为________．
[设幂函数为f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点，所以f＝α＝，解得α＝，所以f(x)＝，所以f(2)＝，所以log8f(2)＝log8＝.]
4．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于__________．
1 [BM＝MN＝NA，点A(1,0)，点B(0,1)．
5．
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解] 因为m∈{x|－2f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].
