5.4 函数的应用(Ⅱ)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)
2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易错点)
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
1.通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养．
2．借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析核心素养.
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐与y轴平行
随x的增大逐渐与x轴平行
随n值的不同而不同
2.三种函数增长速度的比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.
1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
D [本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.]
2．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b
C [B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C.]
3．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
A [指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.]
指数函数模型的应用
【例1】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)
[思路探究] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式．
[解] (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x＝log1.0121.2≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y＝N?1＋P?x表示
1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
24 [由题意得解得所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3×192＝24.]
对数函数模型的应用
【例2】 声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
[解] (1)当I＝10－6 W/m2时，代入得Y＝10lg
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg ＝0，所以＝1，
I＝10－12 W/m2，则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
(3)当声强I＝5×10－7 W/m2时，
声强级Y＝10lg ＝10lg (5×105)
＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．
1．解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义．
2．对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1)．
2．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2.
解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.
函数模型的选择与拟合
[探究问题]
1．在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
提示：一次函数、指数函数、对数函数．
2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？
提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．
【例3】 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
[思路探究] (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；
(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．
[解] (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5 L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，
得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5,8])．
∵y＝－x2＋x＝－2＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L.
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解] 根据题意可列方程组：
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①与②式得：
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
1．本节课的重点是根据给定的函数模型解决实际问题，难点是建立数学模型解答实际问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用已知函数模型解决实际问题的方法．
(2)自建函数模型解决实际问题的方法．
(3)由拟合数据建立函数模型解决实际问题的方法．
3．本节课的易错点是对题意理解不透彻致错.
1．思考辨析
(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )
(2)函数y＝logx衰减的速度越来越慢．( )
(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )
[解析] (1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．
(2)√.由函数y＝logx的图象可知其衰减的速度越来越慢．
(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98代入计算，可排除B、C；将各数据代入y＝log2x，可知满足题意．]
3．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为________．
0．729a [光线每通过一块玻璃板时，强度变为原来的0.9倍，则通过3块玻璃板后的强度变为a×0.93＝0.729a.]
4．某工厂2,3月份分别生产产品2万件，log26万件，为了估计以后每个月的产量，以这两个月的产量为依据，用对数函数y＝logbx＋c模拟，问8月份的产量为多少万件？
[解] 由题意得
解得b＝2，c＝1，f(x)＝log2x＋1.
f(8)＝log28＋1＝4，因此8月份的产量为4万件．
课件42张PPT。第五章 基本初等函数（Ⅰ）5.4 函数的应用(Ⅱ)2345678910指数函数模型的应用11121314151617对数函数模型的应用181920212223函数模型的选择与拟合242526272829303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十一) 函数的应用(Ⅱ)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
D [结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.]
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
A [当x＝1时，y＝100，得a＝100，故当x＝7时，y＝100log28＝300.]
3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
A [由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长得比较快，且图象过(1,2)点，所以图象由指数函数来模拟比较好．]
4．碳十四是一种具有放射性的同位素，于1940年被首次发现，美国科学家应用碳十四发明了碳十四年代测定法，并获得了1960年的诺贝尔化学奖．已知当生物死亡时，它体内原有的碳十四含量按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间叫做“半衰期”，据此规律，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为( )
C [根据大约每经过5 730年衰减为原来的一半，生物体内碳十四的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为
5．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
C [A选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合；
B选项将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合；
C选项将x＝1,2,3分别代入得y＝0.2,0.4,0.8，与实际增加值比较接近；
D选项将x＝2代入得y＝0.45与实际值相差太多．]
二、填空题
6．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
e6－1 [当v＝12 000时，2 000×ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.]
8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
②④ [因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．]
三、解答题
9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
[解] 据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
10．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)
[解] 设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a.
则a(1－60%)n<0.1%a，即0.4n<0.001，两边取常用对数，得n·lg 0.4＝≈7.5.
故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
[等级过关练]
1．
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
C [观察函数f(x)＝logx、g(x)＝
x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图象，由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．故选C.]
2．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是( )
A．①② B．②⑤
C．①②⑤ D．①②③④
C [∵点(1,2)在函数图象上，∴a1＝2，即a＝2，故①正确．
所以函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故②正确．
4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5<12.故③不正确；
根据图象1～2月增加2 m2,2～3月增加4 m2，故④不正确；
对于⑤，2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，
∴t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，
又因为1＋log23＝log22＋log23＝log26，
所以若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3成立．]
3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
4．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．
1 000 000 [设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lg E1－11.4)，
得lg E1＝×9.0＋11.4＝24.9.
同理可得lg E2＝×5.0＋11.4＝18.9，
从而lg E1－lg E2＝24.9－18.9＝6.
故lg E1－lg E2＝lg ＝6，则＝106＝1 000 000，
即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．]
5．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
[解] (1)当x≥7时，
f(x＋1)－f(x)＝.
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，
当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．
(2)由题意可知0.1＋15ln ＝0.85，
整理得＝e0.05，
解得·6≈20.50×6＝123,123∈(121,127]，
由此可知，该学科是乙学科．
