6．1 空间几何体
6．1.1 构成空间几何体的基本元素
学 习 目 标
核 心 素 养
1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)
2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点)
3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1.通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
1．几何体
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．长方体
长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体．
(1)长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面．
(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有12条棱．
(3)长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点，它共有8个顶点．
3．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
4．平面及其表示方法
(1)平面的概念：
平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．
(2)平面的表示方法：
图形表示
在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的
符号表示
平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名
5.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
6．空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系．
7．空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内；
(2)直线与平面平行：直线与平面没有公共点；
(3)直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点．
①直线与平面垂直：
如图，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为垂足．记作直线AA1⊥平面AC.直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．
②点到平面的距离：
在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一条．线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离．
8．空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面相交：
两个平面会相交于一条直线，此时，我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．
(2)两个平面平行：
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离．
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]
2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
A [A中只有移动相同距离才能形成长方体．]
3．下列说法正确的是________．
①长方体是由六个平面围成的几何体；
②长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
②③ [①错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确．]
平面概念的理解
【例1】 下列判断正确的是________．
①平面是无限延展的；
②一个平面长3 cm，宽4 cm；
③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．
①④ [①正确．平面是无限延展的．
②不正确．平面没有大小．
③不正确．平面没有厚薄．
④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]
1．准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．
2．平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．
3．可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．
1．已知下列四个结论：
①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错．]
从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
① ② ③
[思路探究] 线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
① ② ③
1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
[解]
长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中．
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
1．本例中(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′.
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′，
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)平面与平面图形的区别与联系；
(2)用运动的观点认识几何体；
(3)平行与垂直关系的直观判断．
3．本节课的易错点是对平面的概念理解．
1．思考辨析
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．( )
(2)直线的移动只能形成平面．( )
(3)平静的太平洋就是一个平面．( )
[解析] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列结论正确的个数有( )
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．
A．3个 B．4个
C．5个 D．2个
B [只有⑤不正确．]
3．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________cm；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.
(1)3 (2)4 (3)5 [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]
4．如图，画出(1)、(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．
(1) (2)
[解] (1)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图(1)；(2)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图(2)．
(1) (2)
课件51张PPT。第六章 立体几何初步6.1 空间几何体
6.1.1 构成空间几何体的基本元素大小形状六个矩形各个矩形612公共点8面点线对角顶点一个平行四边形α，β，γ既不相交也不平行相交平行有且只有一个没有直线AA1⊥平面AC垂足线段AA1的长最短一条垂线一条直线长度没有公共点垂直且等长平面概念的理解从运动观点认识几何体长方体中基本元素之间的关系点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十二) 构成空间几何体的基本元素
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是( )
A．④⑤ B．③④⑤
C．②③④⑤ D．③⑤
D [③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误．]
2．如图，平面α，β，γ可将空间分成( )
A．五部分 B．六部分
C．七部分 D．八部分
B [由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.]
3．下列命题中正确的个数为( )
①书桌面是平面；②9个平面重叠起来要比7个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对平的、无厚度的、可以无限延展的抽象的数学概念．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [由平面的概念知，只有④正确．]
4．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内；选项D表示直线l与平面α相交于点A，故选C.]
5．如图所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )
C [分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.]
二、填空题
6．给出下列三个命题：
①任何一个平面图形都是一个平面；②空间图形中先画的是实线，后画的是虚线；③直线平行移动，不但可以形成平面，也可以形成曲面．
其中正确命题的序号是________．
③ [任何一个平面图形都只是平面的一部分，故①错；画图时，看得见的画实线，看不见的画虚线，与先后顺序无关，故②错；③正确．]
7．在如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是______．
3 平面ABCD、平面A′B′C′D′ [平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是平面ABCD，平面A′B′C′D′.]
8．如图，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．
③ [正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．]
三、解答题
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
① ② ③
[解] 图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
① ② ③
10．试指出下列各几何体的基本元素(如图)：
① ② ③ ④
[解] ①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
[等级过关练]
1．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1或2 B．2或3
C．1或3 D．1或2或3
C [若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．]
2．如图，模块①—⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①—⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
A [先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②可得正方体．]
