6.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解多面体的定义及其分类．(重点)
2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)
3.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
1.通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.借助棱柱、棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养.
1．多面体
(1)定义
由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体．
(2)相关概念(如图所示)．
(3)凸多面体
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1)棱柱的结构特征．
定义
有两个互相平行的面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面
侧面：底面以外的其余各面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
(2)棱锥的结构特征．
定义
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体
图示及相关概念
底面：多边形
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(3)棱台的结构特征．
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
1．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
A [棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．]
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
C [由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．]
3．下面四个几何体中，是棱台的是( )
A B C D
C [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5 3 [面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]
棱柱、棱锥、棱台的概念
【例1】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________．
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．
]
判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
1．下列关于棱柱的说法正确的个数是( )
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]
几种常见四棱柱的关系
【例2】 下列说法中正确的是( )
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]
几种常见四棱柱的关系
2．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
D [选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.]
多面体的表面展开图
【例3】 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
① ② ③
[思路探究] 可将展开图沿虚线折起来，便得到原几何体，再结合结构特征判断为何种几何体．
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
① ② ③
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
?1?绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
?2?由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
3．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
A B C D
C [将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]
几何体的计算问题
[探究问题]
1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
【例4】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．
[思路探究] 正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解．
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解] 在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.故其高为.
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有关棱柱结构特征的解题策略．
(2)判断棱锥、棱台形状的方法．
(3)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错.
1．思考辨析
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．( )
(2)棱台的侧棱长都相等．( )
(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．( )
(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；
②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；
③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [底面是菱形的直平行六面体满足条件，但它不是正棱柱，①不正确；
底面是等腰梯形的直棱柱满足条件，但它不是长方体，②不正确；
以正六边形为底面的棱锥，其侧棱长必然要大于底面边长，③不正确；
④显然不正确．]
3．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]
4．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
① ②
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
课件52张PPT。第六章 立体几何初步6.1 空间几何体
6.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征234平面多边形 5都在这个平面的同一侧 67公共顶点互相平行互相平行平行公共边8
多边形公共顶点公共顶点公共顶点侧面9公共边平行截面底面101112131415棱柱、棱锥、棱台的概念161718192021几种常见四棱柱的关系22232425多面体的表面展开图262728293031几何体的计算问题3233343536373839404142434445464748495051点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十三) 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列描述中，不是棱柱的结构特征的是( )
A．有一对面互相平行
B．侧面都是四边形
C．相邻两个侧面的公共边都互相平行
D．所有侧棱都交于一点
D [由棱柱的结构特征知D错．]
2．下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
A [三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]
3．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
D [有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选D.]
4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.]
5．正三棱柱ABC?A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为( )
A．6 cm2 B．2 cm2
C．8 cm2 D．2 cm2
C [如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
因为AE＝×4＝2，
所以DE＝＝4，
所以S△BCD＝BC·ED
＝×4×4＝8(cm2)．
所以截面BCD的面积为8 cm2.]
二、填空题
6．如图，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
7．有下列说法：
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．
其中正确的说法的序号是________．
①② [①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．]
8．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
三、解答题
9．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？
[解] 折起后是一个三棱锥(如图所示)．
10．根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形；
(2)由五个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形．
[解] (1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱．
(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥．
[等级过关练]
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15
C．12 D．10
D [如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．]
2．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
D [因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]
3．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．
(1) (2) (3) (4)
(2)(3) [(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．]
4．如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是________．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．
①③④ [①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD.]
5．如图，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．
[解] 作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，
OA＝4 cm，OB＝3 cm，
所以AB＝＝5 cm.
所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.
