6.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)
4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)
1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
3.圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台与圆台统称为台体
4.球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心
半径：半圆的半径
直径：半圆的直径
5.简单组合体
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
6．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？
[提示] 圆锥．
1.如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
C [由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥．]
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A．6 B．8
C．10 D．不确定
B [由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.]
3．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
① [利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]
旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
[解] (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
1．下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
C [A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.]
简单组合体的结构特征
【例2】 如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[思路探究] 关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．
[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
本题是不规则图形的旋转问题．对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．
2．描述下列几何体的结构特征．
[解] 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
旋转体中的计算
[探究问题]
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
4．球的截面是什么？
[提示] 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
【例3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．
[思路探究] 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
[解] 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知，腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
1．将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．
[解] 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
2．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．
[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，
得＝，
即1－＝，解得r＝1.
即圆柱的底面半径为1.
1．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
2．与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．
1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．
(2)简单组合体的构成形式及识别方法．
3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错.
1．思考辨析
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )
[解析] (1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，平面应与圆锥底面平行．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
D [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]
3．如图所示的几何体是由简单几何体________构成的．
[答案] 四棱台和球
4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．
[解] 设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝.
所以此圆柱的底面半径为.
课件41张PPT。第六章 立体几何初步6.1 空间几何体
6.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴的边圆柱和棱柱棱锥和圆锥直角三角形的一条直角边旋转轴垂直于轴直角三角形的斜边不垂直于轴的边棱台与圆台平行于圆锥底面轴截面底面与截面底面与截面直径半圆的直径圆心半径截去或挖去简单几何体拼接旋转体的结构特征简单组合体的结构特征旋转体中的计算点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十四) 圆柱、圆锥、圆台和球
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①
C．③和④ D．①和④
D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]
3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
D [如图，以AB为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]
4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．棱柱
D [用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．]
5．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体(如图所示)，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]
二、填空题
6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]
7．直角梯形绕其较长底边所在直线旋转一周，所得旋转体的结构特征是________________．
一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体 [由旋转体的定义知，该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体．]
8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
10 [如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.]
三、解答题
9．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
[解] 图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
10.如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．
[解] 以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆台，如图①所示．以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图②所示．以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体，如图③所示．以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆台挖去一个同底(上底面)圆锥后和一个同底(下底面)圆锥拼接而成的组合体，如图④所示．
[等级过关练]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．]
2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm、最长80 cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm2.
2 600π [将侧面展开可得S＝(50＋80)×40π＝2 600π(cm2)．]
