6.1.4 投影与直观图
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解投影的概念．(重点)
2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点)
4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)
1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助斜二测画法，找出直观图，培养数学抽象的核心素养.
1．平行投影
(1)投影
①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．
②投射线：光线．
③投射面：留下影子的屏幕．
(2)平行投影
当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．
(3)平行投影的性质
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．直观图的概念
(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
4．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.]
2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
B [由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]
3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
②⑤ [线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]
画平面图形的直观图
【例1】 按如图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[思路探究] 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
[解] 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．
[解] 画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
①
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
②
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
画空间几何体的直观图
【例2】 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[思路探究] →→→
[解] 画法：(1)画轴：
① ②
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
直观图的还原和计算问题
[探究问题]
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.
【例3】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究] 由直观图还原平面图形的关键
(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解] ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．
菱形 [如图所示，在原图形OABC中，应有OA綊BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.
1．平面图与直观图的关系
(1)角的变化，原图形中与x轴垂直的线段，在直观图中画成与x′轴成45°或135°的线段；(2)长度的变化，原图形中与y轴平行(或在y轴上)的线段在直观图中长度减半，原图形中与x轴平行(或在x轴上)的线段在直观图中长度不变．
2．画空间几何体的直观图的原则
(1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
(2)要先画出底面的直观图，再画出其余各面．
(3)与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
1．思考辨析
(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．( )
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．( )
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.( )
[解析] 平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.]
4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解] (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
课件46张PPT。第六章 立体几何初步6.1 空间几何体
6.1.4 投影与直观图234不透明影子光线留下影子的屏幕56平行 7不变45°135°水平面x′轴y′轴8不变 910111213画平面图形的直观图1415161718192021画空间几何体的直观图2223242526直观图的还原和计算问题27282930313233343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十五) 投影与直观图
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等 B．平行不相等
C．相等不平行 D．既不平行也不相等
A [在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等．]
2．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
D [因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]
3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
C [由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.]
4．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A [只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.]
5.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.]
二、填空题
6．在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为______cm，棱A′A1′的长为________________________cm.
2 4 [在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.]
7.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
[按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，
原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin 45°＝.]
8．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．
6 [由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝OA·OB＝6.]
三、解答题
9．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图．
[解] 画法如下：
(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；
(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图；
(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′；
(4)擦去辅助线，得到圆锥的直观图．
10．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
[解] 由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2.
[等级过关练]
1．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
D [还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．]
2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．
[点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′(图略)，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.]
