6.1.5 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图．(重点)
2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积．(重点)
3.了解球的表面积公式，会运用公式求球的表面积．(重点)
4.组合体的表面积计算．(难点)
1.通过学习柱体、锥体、台体表面积的侧面展开图，培养直观想象的核心素养.
2.借助柱体、锥体、台体和球的表面积计算，培养数学运算的核心素养.
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)，
r为底面半径，
l为侧面母线长
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)，
r为底面半径，
l为侧面母线长
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2
＋r′l＋rl)，
r′为上底面半径，
r为下底面半径，
l为侧面母线长
3.球的表面积
球的表面积公式S球＝4πR2.
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11
A [所求长方体的表面积
S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)
＝22.]
2．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶8
B [＝＝＝＝.]
3．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
2∶1 [S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π2＋π··a＝πa2，
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.]
求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例1】 已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．
[思路探究] 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．
[解] 如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.
∵OE＝＝2，∠OPE＝30°，
∴PE＝＝＝4.
∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32，
S表面积＝42＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．
2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．
1．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
112或72 [设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，
则∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]
求圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例2】 一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[思路探究] →
[解] 如图所示，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，
在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5.
在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．
2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
2．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的 ( )
A．4倍 B．3倍 C. 倍 D．2倍
D [由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D.]
球的表面积问题
【例3】 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[思路探究] 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径．
[解] 设正方体的棱长为a.这三个球的半径分别为r1、r2、r3，球的表面积分别为S1，S2，S3，
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
1．在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解．
2．球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解．
3．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πrR D．π(R＋r)2
C [法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如上图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体、球的表面积的求法，难点是会求组合体的表面积．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求空间几何体侧面积、表面积的方法技巧．
(2)求与组合体有关的表面积的方法．
(3)求球的表面积．
3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体表面积时易把相关数据弄错.
1．思考辨析
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )
(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．( )
[解析] (1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．
(2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．
(3)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A. B.
C. D.
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
8 [设火星半径为r，则地球半径为2r，
＝＝8.]
4．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，求圆锥的底面面积．
[解] 如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，
由题意得
解得r＝，
所以底面积为πr2＝π×＝.
所以圆锥的底面面积为.
课件38张PPT。第六章 立体几何初步6.1 空间几何体
6.1.5 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积234面积和 5侧面母线长底面半径侧面母线长底面半径64πR2上底面半径下底面半径侧面母线长7891011求棱柱、棱锥、棱台的表面积1213141516求圆柱、圆锥、圆台的表面积1718192021球的表面积问题22232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十六) 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．1∶4 D．1∶3
B [以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，
故S1∶S2＝1∶1，选B.]
2．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π
C．4π D．16π
A [S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]
3．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
C [∵对角线长为5，
∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×2＝50π.]
4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为( )
A．32 B．48 C．64 D.
A [如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P-ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32.]
5．已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是( )
A．2S B.
C.S D.S
B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
则由题意，得S＝πl2，S＝πrl，
所以πl2＝πrl，
于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2，
所以圆锥的底面面积πr2＝.]
二、填空题
6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
72 [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]
7．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．
48 [正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
a2 [底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3××a×a＝a2.
而S底＝a2，故S表＝a2.]
三、解答题
9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？
[解] 几何体的表面积为：
S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2
＝24－0.5π＋2π
＝24＋1.5π.
10．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．
[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由6a2＝120，得a2＝20，
在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a，
由勾股定理，得R2＝a2＋2＝＝30.
所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
[等级过关练]
1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
A [根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
D [由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.]
3．如图所示，圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
100π [设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，∴r＝2.
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.
∴圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]
4．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________．
9a2 [正六棱柱的底面边长为a，所以正六棱柱的底面面积为S底＝又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2.]
5.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．
[解] (1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4
＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝144＋120(cm2)．
