北师大版2020年中考总复习资料，补习复习资料：48阅读理解型问题（基础）含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版2020年中考总复习资料，补习复习资料：48阅读理解型问题（基础）含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 511.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-28 20:21:27 | ||
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文档简介
中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）
【中考展望】
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.
【方法点拨】
题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．
解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
阅读理解题一般可分为如下几种类型：
(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；
(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．
【典型例题】
类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
/1．阅读材料： 例：说明代数式/的几何意义，并求它的最小值． 解：/=/，
如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，
/
则/可以看成点P与点A（0，1）的距离，/可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3/，即原式的最小值为3/． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式/的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式/的最小值为 ．
【思路点拨】
（1）先把原式化为/的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为/的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【答案与解析】
解：（1）∵原式化为/的形式， ∴代数式/的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； / （2）∵原式化为/的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短， ∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B=/=10， 故答案为：10．
【总结升华】
本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
/2．阅读材料： （1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法： 当a-b＞0时，一定有a＞b； 当a-b=0时，一定有a=b； 当a-b＜0时，一定有a＜b． 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： ∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0， ∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同. 当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b； 当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b； 当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b. 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题： ①W1= （用x、y的式子表示）； W2= （用x、y的式子表示）； ②请你分析谁用的纸面积更大． （2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案： / 方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP． 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP． ①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）； ②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）； ③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【思路点拨】
（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可； （2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案； ③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．
【答案与解析】
（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y． ??????? ②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， ∵x＞y， ∴x-y＞0， ∴W1-W2＞0， 得W1＞W2， 所以张丽同学用纸的总面积更大．?
（2）①解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3． ??????????
/
②解：过B作BM⊥AC于M， 则AM=4-3=1， 在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1， 在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=/， 故答案为：/．
③解：a12-a22=（x+3）2-（/）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5， 当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5， 当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5， 综上所述， 当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短， 当x=6.5时，两种方案一样， 当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
【总结升华】
本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为/和/，对角线BD、FH都在直线/上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线 /上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．
/
（1）计算：O1D=_______，O2F=______；
（2）当中心O2在直线 /上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.
（3）随着中心 O2在直线 /上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）
【答案】
（1）O1D=2，O2F=1；
（2）O1 O2 =3；
（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；
当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；
当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．
类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
/3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题． 如图（1），要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？ / 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道/看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
/ ①作点B关于直线/的对称点B′． ②连接AB′交直线/于点P，则点P为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．
【思路点拨】
（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P， P点即为所求； / （2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE为△ABC中位线， ∵BC=6，BC边上的高为4， ∴DE=3，DD′=4， ∴D′E=/=5， ∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8， 故答案为：8．
【总结升华】
此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值是解题关键．
举一反三：
【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+/，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…/＝？
观察下面三个特殊的等式：
/
/
/
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝/
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴ /__________________；
⑵ ______________________；
⑶ /___________________.
（只需写出结果，不必写中间的过程）
【答案】
⑴343400(或/)
⑵/
⑶/
每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是/，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为/了.
类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题
/4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围． /
【思路点拨】
（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长； （2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当0≤t≤/时，当/＜t≤2时，当2＜t≤/时，当/＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：（1）如图①，
/
设正方形BEFG的边长为x， 则BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB-BG=3-x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴/， 即/， 解得：x=2， 即BE=2. （2）存在满足条件的t， 理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴/，即/， ∴ME=2-/t， 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-/t）2=/t2-2t+8， 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2-/t， ∴DN=DH-NH=3-（2-/t）=/t+1， 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=/t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2， 即/t2+t+1=（/t2-2t+8）+（t2-4t+13）， 解得：t=/， （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2， 即t2-4t+13=（/t2-2t+8）+（/t2+t+1）， 解得：t1=-3+/，t2=-3-/（舍去）， ∴t=-3+/； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2， 即：/t2-2t+8=（t2-4t+13）+（/t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当t=/或-3+/时，△B′DM是直角三角形； / （3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH， 即2：3=CE：4， ∴CE=/， ∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-/=/， ∵ME=2-/t， ∴FM=/t， 当0≤t≤/时，S=S△FMN=/×t×/t=/t2， ②如图④，当G在AC上时，t=2， ∵EK=EC?tan∠DCB=EC?/=/（4-t）=3-/t， ∴FK=2-EK=/t-1， ∵NL=/AD=/， ∴FL=t-/， ∴当/＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=/t2-/（t-/）（/t-1）=-/t2+t-/； ③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH， 即B′C：4=2：3， 解得：B′C=/， ∴EC=4-t=B′C-2=/， ∴t=/， ∵B′N=/B′C=/（6-t）=3-/t， ∵GN=GB′-B′N=/t-1， ∴当2＜t≤/时，S=S梯形GNMF-S△FKL=/×2×（/t-1+/t）-/（t-/）（/t-1）=-/t2+2t-/， ④如图⑥，当/＜t≤4时， ∵B′L=/B′C=/（6-t），EK=/EC=/（4-t），B′N=/B′C=/（6-t）EM=/EC=/（4-t），
/ S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-/t+/． 综上所述： 当0≤t≤/时，S=/t2， 当/＜t≤2时，S=-/t2+t-/； 当2＜t≤/时，S=-/t2+2t-/， 当/＜t≤4时，S=-/t+/．
【总结升华】
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
/5．阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现: （1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． /
【思路点拨】
（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．
【答案与解析】
解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C； 故答案是：是； / （2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1?B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1?B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； （3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角， ∴如果一个三角形的最小角是4°，
三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【总结升华】
本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．
举一反三：
【阅读理解型问题 例3】
【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
/
① ② ③
【答案】
(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
/
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 .
/
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，
则L1=/+2a，L2=/+2b，L3=/+2c .
∴L1-L2=(/+2a)-(/+2b)=2(a-b)/，
而ab＞S，a＞b，
∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .
同理可得，L2＞L3 .
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.对于二次函数/，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数/(m为实数)的零点的个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )
/
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=/，sinC=/，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即/．
同理有/，/．
所以/………(*)
/
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A / /∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B．/ /∠C；
第三步：由条件． / /c．
4．请耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°,
sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°
一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：
①根据你的猜想填空:
sin37°cos48°+cos37°sin48°=_________.
sinαcosβ+cosαsinβ＝____________.
②尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值为 ．
三、解答题
5. 阅读材料：
为解方程/，我们可以将/看作一个整体，然后设/，那么原方程可化为/①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，/，∴ /，∴ /；
当y＝4时，/，∴ /，∴ /．
故原方程的解为：
/，/，/，/．
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程/．
6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．
/
（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？
（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）
7. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m-n|，于是，|m-n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是，|a-b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理的定义．
/
8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:
材料：23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为/．一般地，若/，则n叫做以/为底b的对数，记为/，则4叫做以3为底81的对数，记为/．
问题：（1）计算以下各对数的值:
/.
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？/之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
/
根据幂的运算法则：/以及对数的含义证明上述结论．
9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；
（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．
/
10. 阅读材料，如图(1)所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，
求证：/．
证明：/
∴/
/
/．
/
解答问题：
(1)上述证明得到的性质可叙述为________．
(2)已知：如图(2)所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3 cm，
BC＝7 cm，利用上述性质求梯形的面积．
11.阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数/的最大值．他画图研究后发现，/和/时的函数值相等，于是他认为需要对/进行分类讨论．
/
他的解答过程如下：
∵二次函数/的对称轴为直线/，
∴由对称性可知，/和/时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则/时，/的最大值为2；
若m≥5，则/时，/的最大值为/．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当/≤x≤4时，二次函数/的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数/的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数/的最大值为31，则/的值为_______．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
2.【答案】C；
二、填空题
3.【答案】/, ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，
/或/
4.【答案】①sin85°；sin(α+β)；
②/
【解析】②sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=/.
三、解答题
5. 【答案与解析】
(1)换元；
(2)设/，则原方程可化为/，
解得y1＝3，y2＝-2．
当y＝3时，/，所以/．
因为/不能为负，所以y＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为/，/．
6.【答案与解析】
（1）设平均每年降低的百分率为.
据题意，得 16（1－x）2 =10.24，
（1－x）2 =0．64,（1－x）= ±0.8，x1=1.8（不合题意，舍去），x2=0.2．
即平均每年降低的百分率是20％.
（2）×100%=7 9.52％.
所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．
7.【答案与解析】
(1)①40；②0；
(2)不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a-b|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为/，/越小，矩形与正方形的形状差异越小；/时，矩形就变成了正方形．
8．【答案与解析】
（1）/， /，/
（2）4×16=64，/ + /=/
（3）/ + /=/
证明：设/=b1 , /=b2
则/，/
∴/
∴b1+b2=/
即/+ /=/
9．【答案与解析】
（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”；
（2）2m ；
（3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°
设新扇形的半径为r，则//.
即新扇形的半径为/cm.
10．【答案与解析】
(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半．
(2)∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD．
由AD∥BC，可得PD:PB＝3:7，
故设PD＝3x，则PB＝7x，
∴在Rt△APD中，/，
/，/．
∴BD＝10x＝/，
∴/(cm2)．
11．【答案与解析】
（1）当/时，二次函数/的最大值为 49 ；
（2）∵二次函数/的对称轴为直线/，
∴由对称性可知，当/和/时函数值相等.
∴若/，则当/时，/的最大值为/.
若/，则当/时，/的最大值为17.
（3）/的值为 /或/ .
【中考展望】
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.
【方法点拨】
题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．
解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
阅读理解题一般可分为如下几种类型：
(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；
(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．
【典型例题】
类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
/1．阅读材料： 例：说明代数式/的几何意义，并求它的最小值． 解：/=/，
如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，
/
则/可以看成点P与点A（0，1）的距离，/可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值． 设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3/，即原式的最小值为3/． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式/的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式/的最小值为 ．
【思路点拨】
（1）先把原式化为/的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为/的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【答案与解析】
解：（1）∵原式化为/的形式， ∴代数式/的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； / （2）∵原式化为/的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短， ∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B=/=10， 故答案为：10．
【总结升华】
本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
/2．阅读材料： （1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法： 当a-b＞0时，一定有a＞b； 当a-b=0时，一定有a=b； 当a-b＜0时，一定有a＜b． 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： ∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0， ∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同. 当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b； 当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b； 当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b. 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题： ①W1= （用x、y的式子表示）； W2= （用x、y的式子表示）； ②请你分析谁用的纸面积更大． （2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案： / 方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP． 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP． ①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）； ②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）； ③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【思路点拨】
（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可； （2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案； ③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．
【答案与解析】
（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y． ??????? ②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， ∵x＞y， ∴x-y＞0， ∴W1-W2＞0， 得W1＞W2， 所以张丽同学用纸的总面积更大．?
（2）①解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3． ??????????
/
②解：过B作BM⊥AC于M， 则AM=4-3=1， 在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1， 在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=/， 故答案为：/．
③解：a12-a22=（x+3）2-（/）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5， 当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5， 当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5， 综上所述， 当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短， 当x=6.5时，两种方案一样， 当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
【总结升华】
本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为/和/，对角线BD、FH都在直线/上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线 /上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．
/
（1）计算：O1D=_______，O2F=______；
（2）当中心O2在直线 /上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.
（3）随着中心 O2在直线 /上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）
【答案】
（1）O1D=2，O2F=1；
（2）O1 O2 =3；
（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；
当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；
当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．
类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
/3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题． 如图（1），要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？ / 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道/看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
/ ①作点B关于直线/的对称点B′． ②连接AB′交直线/于点P，则点P为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．
【思路点拨】
（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P， P点即为所求； / （2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE为△ABC中位线， ∵BC=6，BC边上的高为4， ∴DE=3，DD′=4， ∴D′E=/=5， ∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8， 故答案为：8．
【总结升华】
此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值是解题关键．
举一反三：
【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+/，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…/＝？
观察下面三个特殊的等式：
/
/
/
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝/
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴ /__________________；
⑵ ______________________；
⑶ /___________________.
（只需写出结果，不必写中间的过程）
【答案】
⑴343400(或/)
⑵/
⑶/
每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是/，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为/了.
类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题
/4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围． /
【思路点拨】
（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长； （2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当0≤t≤/时，当/＜t≤2时，当2＜t≤/时，当/＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：（1）如图①，
/
设正方形BEFG的边长为x， 则BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB-BG=3-x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴/， 即/， 解得：x=2， 即BE=2. （2）存在满足条件的t， 理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴/，即/， ∴ME=2-/t， 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-/t）2=/t2-2t+8， 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2-/t， ∴DN=DH-NH=3-（2-/t）=/t+1， 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=/t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2， 即/t2+t+1=（/t2-2t+8）+（t2-4t+13）， 解得：t=/， （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2， 即t2-4t+13=（/t2-2t+8）+（/t2+t+1）， 解得：t1=-3+/，t2=-3-/（舍去）， ∴t=-3+/； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2， 即：/t2-2t+8=（t2-4t+13）+（/t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当t=/或-3+/时，△B′DM是直角三角形； / （3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH， 即2：3=CE：4， ∴CE=/， ∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-/=/， ∵ME=2-/t， ∴FM=/t， 当0≤t≤/时，S=S△FMN=/×t×/t=/t2， ②如图④，当G在AC上时，t=2， ∵EK=EC?tan∠DCB=EC?/=/（4-t）=3-/t， ∴FK=2-EK=/t-1， ∵NL=/AD=/， ∴FL=t-/， ∴当/＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=/t2-/（t-/）（/t-1）=-/t2+t-/； ③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH， 即B′C：4=2：3， 解得：B′C=/， ∴EC=4-t=B′C-2=/， ∴t=/， ∵B′N=/B′C=/（6-t）=3-/t， ∵GN=GB′-B′N=/t-1， ∴当2＜t≤/时，S=S梯形GNMF-S△FKL=/×2×（/t-1+/t）-/（t-/）（/t-1）=-/t2+2t-/， ④如图⑥，当/＜t≤4时， ∵B′L=/B′C=/（6-t），EK=/EC=/（4-t），B′N=/B′C=/（6-t）EM=/EC=/（4-t），
/ S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-/t+/． 综上所述： 当0≤t≤/时，S=/t2， 当/＜t≤2时，S=-/t2+t-/； 当2＜t≤/时，S=-/t2+2t-/， 当/＜t≤4时，S=-/t+/．
【总结升华】
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
/5．阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现: （1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． /
【思路点拨】
（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．
【答案与解析】
解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C； 故答案是：是； / （2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1?B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1?B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； （3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角， ∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角， ∴如果一个三角形的最小角是4°，
三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【总结升华】
本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．
举一反三：
【阅读理解型问题 例3】
【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
/
① ② ③
【答案】
(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
/
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 .
/
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，
则L1=/+2a，L2=/+2b，L3=/+2c .
∴L1-L2=(/+2a)-(/+2b)=2(a-b)/，
而ab＞S，a＞b，
∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .
同理可得，L2＞L3 .
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.对于二次函数/，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数/(m为实数)的零点的个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )
/
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=/，sinC=/，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即/．
同理有/，/．
所以/………(*)
/
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A / /∠B；
第二步：由条件 ∠A、∠B．/ /∠C；
第三步：由条件． / /c．
4．请耐心阅读，然后解答后面的问题：上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°,
sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°
一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学计算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：
①根据你的猜想填空:
sin37°cos48°+cos37°sin48°=_________.
sinαcosβ+cosαsinβ＝____________.
②尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值为 ．
三、解答题
5. 阅读材料：
为解方程/，我们可以将/看作一个整体，然后设/，那么原方程可化为/①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，/，∴ /，∴ /；
当y＝4时，/，∴ /，∴ /．
故原方程的解为：
/，/，/，/．
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程/．
6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．
/
（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？
（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）
7. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m-n|，于是，|m-n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是，|a-b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理的定义．
/
8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:
材料：23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为/．一般地，若/，则n叫做以/为底b的对数，记为/，则4叫做以3为底81的对数，记为/．
问题：（1）计算以下各对数的值:
/.
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？/之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
/
根据幂的运算法则：/以及对数的含义证明上述结论．
9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；
（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．
/
10. 阅读材料，如图(1)所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，
求证：/．
证明：/
∴/
/
/．
/
解答问题：
(1)上述证明得到的性质可叙述为________．
(2)已知：如图(2)所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3 cm，
BC＝7 cm，利用上述性质求梯形的面积．
11.阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数/的最大值．他画图研究后发现，/和/时的函数值相等，于是他认为需要对/进行分类讨论．
/
他的解答过程如下：
∵二次函数/的对称轴为直线/，
∴由对称性可知，/和/时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则/时，/的最大值为2；
若m≥5，则/时，/的最大值为/．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当/≤x≤4时，二次函数/的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数/的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数/的最大值为31，则/的值为_______．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
2.【答案】C；
二、填空题
3.【答案】/, ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，
/或/
4.【答案】①sin85°；sin(α+β)；
②/
【解析】②sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30°=/.
三、解答题
5. 【答案与解析】
(1)换元；
(2)设/，则原方程可化为/，
解得y1＝3，y2＝-2．
当y＝3时，/，所以/．
因为/不能为负，所以y＝-2不符合题意，应舍去．所以原方程的解为/，/．
6.【答案与解析】
（1）设平均每年降低的百分率为.
据题意，得 16（1－x）2 =10.24，
（1－x）2 =0．64,（1－x）= ±0.8，x1=1.8（不合题意，舍去），x2=0.2．
即平均每年降低的百分率是20％.
（2）×100%=7 9.52％.
所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．
7.【答案与解析】
(1)①40；②0；
(2)不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a-b|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为/，/越小，矩形与正方形的形状差异越小；/时，矩形就变成了正方形．
8．【答案与解析】
（1）/， /，/
（2）4×16=64，/ + /=/
（3）/ + /=/
证明：设/=b1 , /=b2
则/，/
∴/
∴b1+b2=/
即/+ /=/
9．【答案与解析】
（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”；
（2）2m ；
（3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120°
设新扇形的半径为r，则//.
即新扇形的半径为/cm.
10．【答案与解析】
(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半．
(2)∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD．
由AD∥BC，可得PD:PB＝3:7，
故设PD＝3x，则PB＝7x，
∴在Rt△APD中，/，
/，/．
∴BD＝10x＝/，
∴/(cm2)．
11．【答案与解析】
（1）当/时，二次函数/的最大值为 49 ；
（2）∵二次函数/的对称轴为直线/，
∴由对称性可知，当/和/时函数值相等.
∴若/，则当/时，/的最大值为/.
若/，则当/时，/的最大值为17.
（3）/的值为 /或/ .
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