北师大版2020年中考总复习资料，补习复习资料：54观察、归纳型问题（基础）含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版2020年中考总复习资料，补习复习资料：54观察、归纳型问题（基础）含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 409.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-28 20:40:03 | ||
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文档简介
中考冲刺：观察、归纳型问题—知识讲解（基础）
【中考展望】
主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.
【方法点拨】
观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.
考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．
1．数式归纳
题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．
解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
2．图形变化归纳
题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．
解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．
【典型例题】
类型一、数式归纳
/1．试观察下列各式的规律，然后填空：
/；
/；
/；
…；
则/…/________．
【思路点拨】
根据前几个等式的规律，不难得出/…/．
【答案与解析】
答案：/.
【总结升华】
此题归纳方法很多，注意每行数字的变化规律和符号规律．
举一反三：
【变式1】观察下列各式：?
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
… … …
(1)根据规律填空 (x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)＝__ __________．
(2)根据规律计算? 2100＋299＋298+297+…+22+2 +1＝???????????? .
【答案】(1) xn＋1－1?；?(2) 2101－1.
【观察、归纳型问题 例1】
【变式2】按一定规律排列的一列数依次为： /按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n个数是 ．
【答案】/
类型二、图形变化归纳
/2．如图所示，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
/
/ / / /
A B C D
【思路点拨】
题目中装饰物品旋转闪烁所成的三个图形的规律是，阴影部分从左到右是顺时针每隔一个格闪烁一次.
【答案与解析】
解：根据本题图形圆中两个阴影的位置不断变化的规律(每闪烁一次都向顺时针方向转动2个格)可得答案为B．
【总结升华】
找到图形的变化规律是解题的关键.
举一反三：
【变式1】如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）
/
/ / / /
A． B． C． D．
【答案】A.
/3．若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）
/
A.2 B./ C. / D. /
【思路点拨】
当n=2时，折线的长度为：1+/=/；当n=3时，折线的长度为：/+/×/=/；当n=4时，折线的长度为：/+/×/=/，从而可求出折线的总长度．
【答案与解析】
解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+/=/；
当n=3时，折线的长度为：/+/×/=/；
当n=4时，折线的长度为：/+/×/=/．
故选D．
【总结升华】
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律．
类型三、数值、数量结果归纳
/4．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．
/
【思路点拨】
根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．
【答案与解析】
解：如图：
/
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；
因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标-1）×（点A的纵坐标-1）-3]÷2，
所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；
故答案为：3或4，6n-3．
【总结升华】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．
【观察、归纳型问题 例2】
【变式】如图，用火柴棍拼成一排正方形图形，如果图形中含有1、2、3或4个正方形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个正方形，需要多少根火柴棍？
/
【答案】
1个正方形：4根；
2个正方形：7根；
3个正方形：10根；
4个正方形：13根；
n个正方形：（3n+1）根.
类型四、数形归纳
/5．在一平直河岸/同侧有A，B两个村庄，A，B到/的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．现计划在河岸/上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：如图①所示是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1 (km)，且/(km)(其中BP⊥l于点P)；如图②所示是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且/(km)(其中点A′与点A关于/对称，A′B与/交于点P)．
/
观察计算
(1)在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；
(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝________km(用含a的式子表示)．
探索归纳
(1)①当a＝4时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；
②当a＝6时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；
(2)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?
/
【思路点拨】
观察计算：
（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP⊥/于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2． （2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值/就是管道长度． 探索归纳：
（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=/就可以比较其大小； ②把a=6代入d1=a+2和d2=/就可以比较其大小；
（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．
【答案与解析】
解：观察计算
(1)a+2；(2)/．
探索归纳
(1)①＜；②＞．
(2)/．
①当4a-20＞0，即a＞5时，/，
∴/．∴/；
②当4a-20＝0，即a＝5时，/，
∴/．∴d1＝d2；
③当/，即a＜5时，/，
∴/．∴/．
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a＝5时，选方案一或方案二；
当l＜a＜5时，选方案一．
【总结升华】
本题根据课本中所熟知的背景，打破原有的条条框框，开展探究性学习，最后通过科学的计算，推导出新的结论，即当1＜a＜5时选方案一，体现了平时教学中，学生开展课题学习，培养质疑精神的可贵．
中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )
/
A．2 B．4 C．5 D．6
2．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )
A．52 012－1 B．52 013－1 C. D.
3. 如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
二、填空题
4．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=/，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ．点C2012的坐标是 ．
/
5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为 ．
/
6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=___________.（用含n的式子表示）
/
三、解答题
7．观察下列等式：
/
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝______＝______(n为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．
（1）将方程组1的解填入表中．
/
（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；
/
9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为/…/．
/
如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．
10. 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：
所剪次数
1
2
3
4
5
…
正方形个数
4
7
10
13
16
…
⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？
⑵如果剪n次共有An个正方形，试用含n、An的等式表示这个规律；
⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？
⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
⑸若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an；
⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为/＞1，所以这时有6个正方形网格被覆盖.
2.【答案】C；
【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.
因此，5S－S＝52 013－1，S＝.
3.【答案】A；
【解析】由题意得，AD=/BC=/，AD1=AD﹣DD1=/，AD2=/，AD3=/，…，ADn=/，
又APn=/ADn，
故AP1=/，AP2=/，AP3=/…APn=/，
故可得AP6=/．
故选A．
二、填空题
4.【答案】2，（﹣22013，0）．
【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，
∴tan∠BOC=/=，
∴∠BOC=60°，
∴OC=2OB=2×1=2，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，
∴m=2，
∴OC1=2OC=2×2=4=22，
OC2=2OC1=2×4=8=23，
OC3=2OC2=2×8=16=24，
…，
OCn=2n+1，
∴OC2012=22013，
∵2012÷6=335…2，
∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．
故答案为：2，（﹣22013，0）．
5.【答案】45．
【解析】根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2019个点是（45，13），
所以，第2019个点的横坐标为45．
故答案为：45．
6.【答案】/．
【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=/×B1C1×B1M1=/×1×/=/，
S△B1C1M2=/×B1C1×B1M2=/×1×/=/，
S△B1C1M3=/×B1C1×B1M3=/×1×/=/，
S△B1C1M4=/×B1C1×B1M4=/×1×/=/，
S△B1C1Mn=/×B1C1×B1Mn=/×1×/ =/，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（/）2=（/）2，
即Sn：/ =/，
∴Sn=/．
故答案为：/．
三、解答题
7．【答案与解析】
解：根据观察知，答案分别为：
/
8．【答案与解析】
/
显然该方程组不符合（2）中的规律．
9．【答案与解析】
解：(1)67．
(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝/个数，
其中23个负数，1个0，54个正数，
∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和
＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54
＝(1+2+3+…+23)+(1+2+3+…+54)
＝276+1485＝1761．
10．【答案与解析】
解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；
⑵An＝3n＋1；
⑶若An＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需要剪7次；
⑷若An＝2004，则3n＋1＝2004，此方程无自然数解，
∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；
⑸an＝；
⑹a1＝＜1，a1＋a2＝＋＝＜1，a1＋a2＋a3＝＋＋＝＜1，……从而猜想到：
a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直观的几何意义如图所示.
/
【中考展望】
主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.
【方法点拨】
观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.
考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．
1．数式归纳
题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．
解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
2．图形变化归纳
题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．
解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．
【典型例题】
类型一、数式归纳
/1．试观察下列各式的规律，然后填空：
/；
/；
/；
…；
则/…/________．
【思路点拨】
根据前几个等式的规律，不难得出/…/．
【答案与解析】
答案：/.
【总结升华】
此题归纳方法很多，注意每行数字的变化规律和符号规律．
举一反三：
【变式1】观察下列各式：?
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
… … …
(1)根据规律填空 (x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)＝__ __________．
(2)根据规律计算? 2100＋299＋298+297+…+22+2 +1＝???????????? .
【答案】(1) xn＋1－1?；?(2) 2101－1.
【观察、归纳型问题 例1】
【变式2】按一定规律排列的一列数依次为： /按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n个数是 ．
【答案】/
类型二、图形变化归纳
/2．如图所示，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
/
/ / / /
A B C D
【思路点拨】
题目中装饰物品旋转闪烁所成的三个图形的规律是，阴影部分从左到右是顺时针每隔一个格闪烁一次.
【答案与解析】
解：根据本题图形圆中两个阴影的位置不断变化的规律(每闪烁一次都向顺时针方向转动2个格)可得答案为B．
【总结升华】
找到图形的变化规律是解题的关键.
举一反三：
【变式1】如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）
/
/ / / /
A． B． C． D．
【答案】A.
/3．若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（ ）
/
A.2 B./ C. / D. /
【思路点拨】
当n=2时，折线的长度为：1+/=/；当n=3时，折线的长度为：/+/×/=/；当n=4时，折线的长度为：/+/×/=/，从而可求出折线的总长度．
【答案与解析】
解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+/=/；
当n=3时，折线的长度为：/+/×/=/；
当n=4时，折线的长度为：/+/×/=/．
故选D．
【总结升华】
此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律．
类型三、数值、数量结果归纳
/4．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．
/
【思路点拨】
根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．
【答案与解析】
解：如图：
/
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；
因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标-1）×（点A的纵坐标-1）-3]÷2，
所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；
故答案为：3或4，6n-3．
【总结升华】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．
【观察、归纳型问题 例2】
【变式】如图，用火柴棍拼成一排正方形图形，如果图形中含有1、2、3或4个正方形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个正方形，需要多少根火柴棍？
/
【答案】
1个正方形：4根；
2个正方形：7根；
3个正方形：10根；
4个正方形：13根；
n个正方形：（3n+1）根.
类型四、数形归纳
/5．在一平直河岸/同侧有A，B两个村庄，A，B到/的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．现计划在河岸/上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：如图①所示是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1 (km)，且/(km)(其中BP⊥l于点P)；如图②所示是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且/(km)(其中点A′与点A关于/对称，A′B与/交于点P)．
/
观察计算
(1)在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；
(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝________km(用含a的式子表示)．
探索归纳
(1)①当a＝4时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；
②当a＝6时，比较大小：d1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；
(2)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?
/
【思路点拨】
观察计算：
（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP⊥/于点P得出PB=2，故可以得出d1的值为a+2． （2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值/就是管道长度． 探索归纳：
（1）①把a=4代入d1=a+2和d2=/就可以比较其大小； ②把a=6代入d1=a+2和d2=/就可以比较其大小；
（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．
【答案与解析】
解：观察计算
(1)a+2；(2)/．
探索归纳
(1)①＜；②＞．
(2)/．
①当4a-20＞0，即a＞5时，/，
∴/．∴/；
②当4a-20＝0，即a＝5时，/，
∴/．∴d1＝d2；
③当/，即a＜5时，/，
∴/．∴/．
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a＝5时，选方案一或方案二；
当l＜a＜5时，选方案一．
【总结升华】
本题根据课本中所熟知的背景，打破原有的条条框框，开展探究性学习，最后通过科学的计算，推导出新的结论，即当1＜a＜5时选方案一，体现了平时教学中，学生开展课题学习，培养质疑精神的可贵．
中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )
/
A．2 B．4 C．5 D．6
2．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )
A．52 012－1 B．52 013－1 C. D.
3. 如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
/
A． / B． / C． / D． /
二、填空题
4．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=/，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ．点C2012的坐标是 ．
/
5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为 ．
/
6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=___________.（用含n的式子表示）
/
三、解答题
7．观察下列等式：
/
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝______＝______(n为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．
（1）将方程组1的解填入表中．
/
（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；
/
9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为/…/．
/
如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．
10. 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：
所剪次数
1
2
3
4
5
…
正方形个数
4
7
10
13
16
…
⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？
⑵如果剪n次共有An个正方形，试用含n、An的等式表示这个规律；
⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？
⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
⑸若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an；
⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为/＞1，所以这时有6个正方形网格被覆盖.
2.【答案】C；
【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.
因此，5S－S＝52 013－1，S＝.
3.【答案】A；
【解析】由题意得，AD=/BC=/，AD1=AD﹣DD1=/，AD2=/，AD3=/，…，ADn=/，
又APn=/ADn，
故AP1=/，AP2=/，AP3=/…APn=/，
故可得AP6=/．
故选A．
二、填空题
4.【答案】2，（﹣22013，0）．
【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，
∴tan∠BOC=/=，
∴∠BOC=60°，
∴OC=2OB=2×1=2，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，
∴m=2，
∴OC1=2OC=2×2=4=22，
OC2=2OC1=2×4=8=23，
OC3=2OC2=2×8=16=24，
…，
OCn=2n+1，
∴OC2012=22013，
∵2012÷6=335…2，
∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．
故答案为：2，（﹣22013，0）．
5.【答案】45．
【解析】根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2019个点是（45，13），
所以，第2019个点的横坐标为45．
故答案为：45．
6.【答案】/．
【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=/×B1C1×B1M1=/×1×/=/，
S△B1C1M2=/×B1C1×B1M2=/×1×/=/，
S△B1C1M3=/×B1C1×B1M3=/×1×/=/，
S△B1C1M4=/×B1C1×B1M4=/×1×/=/，
S△B1C1Mn=/×B1C1×B1Mn=/×1×/ =/，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（/）2=（/）2，
即Sn：/ =/，
∴Sn=/．
故答案为：/．
三、解答题
7．【答案与解析】
解：根据观察知，答案分别为：
/
8．【答案与解析】
/
显然该方程组不符合（2）中的规律．
9．【答案与解析】
解：(1)67．
(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝/个数，
其中23个负数，1个0，54个正数，
∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和
＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54
＝(1+2+3+…+23)+(1+2+3+…+54)
＝276+1485＝1761．
10．【答案与解析】
解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；
⑵An＝3n＋1；
⑶若An＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需要剪7次；
⑷若An＝2004，则3n＋1＝2004，此方程无自然数解，
∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；
⑸an＝；
⑹a1＝＜1，a1＋a2＝＋＝＜1，a1＋a2＋a3＝＋＋＝＜1，……从而猜想到：
a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直观的几何意义如图所示.
/
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