高中物理鲁科版选修3-1 期末复习学案带电粒子在匀强磁场中的运动Word版含解析

　带电粒子在匀强磁场中的运动
洛伦兹力、洛伦兹力的方向和大小
1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2.洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则：
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3.洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
如图1，带电粒子在磁场中，①中粒子做匀速圆周运动，②中粒子做匀速直线运动，③中粒子做匀速圆周运动。
图1
3.半径和周期公式：(v⊥B)
小题速练
1.思考判断
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。 (　　)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。(　　)
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。(　　)
(4)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。(　　)
(5)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。(　　)
(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
2.[人教版选修3－1P98第1题改编]下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)
答案　B
3.[人教版选修3－1P95插图改编]在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方置一根通有如图2所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则阴极射线将会(　　)
图2
A.向上偏转　　　　 B.向下偏转
C.向纸内偏转 D.向纸外偏转
解析　由题意可知，直线电流的方向由左向右，根据安培定则，可判定直导线下方的磁场方向为垂直纸面向里，而阴极射线电子运动方向由左向右，由左手定则知(电子带负电，四指要指向其运动方向的反方向)，阴极射线将向下偏转，故B选项正确。
答案 B　
　对洛伦兹力的理解
1.洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向
【例1】　带电粒子以初速度v0从a点垂直y轴进入匀强磁场，如图3所示，运动中粒子经过b点，Oa＝Ob。若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场，仍以v0从a点垂直y轴进入电场，粒子仍能过b点，那么电场强度E与磁感应强度B之比为(　　)
图3
A.v0 B.1
C.2v0 D.
解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O为圆心，故Oa＝Ob＝，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故Ob＝v0t，Oa＝t2，联立以上各式解得＝2v0，故选项C正确。
答案　C
　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子在匀强磁场中圆周运动分析
(1)圆心的确定方法
方法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图4(a)；
方法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图(b)。
图4
(2)半径的计算方法
方法一　由公式求：半径R＝；
方法二　由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)时间的计算方法
方法一　由圆心角求：t＝·T；
方法二　由弧长求：t＝。
2.带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图5所示)。
图5
(2)平行边界(存在临界条件，如图6所示)。
图6
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图7所示)。
图7
【例2】　(2019·金坛四中期中)如图8所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P以速率v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。
图8
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度v0从P点以任意角入射，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。
解析　(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得Bqv0＝m
r＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图甲所示，则
t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R
其运动轨迹如图乙所示，
乙
由图可知∠PO2O＝∠OO2D＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏转原来方向60°
v⊥＝vsin 60°＝v0
(3)由(1)知，当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R。
设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如图丙所示。
丙
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R
所以四边形POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关。
答案　(1)　(2)v0　(3)见解析
　带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解模型
类型
分析
图例
带电粒
子电性
不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场
方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界
状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解
运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往往运动具有周期性，因而形成多解
【例3】　某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图9所示。装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。
图9
(1) 求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化
量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。
解析　(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，画出带电粒子的运动轨迹如图所示。
由几何关系得L＝3rsin 30°＋3·/tan 30°①
又由h＝r(1－cos 30°)②
联立①②解得：h＝(L－d)(1－)③
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′，则有
qvB＝m及qv′B＝m④
又由几何关系得3rsin 30°＝4r′sin 30°⑤
联立④⑤解得Δv＝v－v′＝(－d)⑥
(3)设粒子经过磁场n次，则由几何关系得
L＝(2n＋2)rnsin 30°＋(2n＋2)/tan 30°⑦
又由qvnB＝m，⑧
解得vn＝(－d)(1≤n<－1，n取整数)⑨
答案　(1)(L－d)(1－)　(2)(－d)
(3)(－d)(1≤n＜－1，n取整数)
科学思维的培养——带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题
1.常见三种临界模型草图(如图10所示)
图10
2.分析临界问题时应注意
从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的条件。如：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长；
(4)直径是圆的最大弦。
【典例】　(2018·江苏南京、盐城第一次模拟)如图11所示，半径为r 的圆形区域内有平行于纸面的匀强偏转电场，电场与水平方向成60°角，同心大圆半径为r，两圆间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，带电荷量为＋q 的粒子经电场加速后恰好沿磁场边界进入磁场，经磁场偏转恰好从内圆的最高点A处与电场方向垂直进入电场，并从最低点C处离开电场。不计粒子的重力。求：
图11
(1)该粒子从A 处进入电场时的速率；
(2)偏转电场的场强大小；
(3)使该粒子不进入电场并在磁场中做完整的圆周运动，加速电压的取值范围。
解析　(1)连结磁场外边界入射点D与内边界出射点A。
即为粒子做圆周运动的弦，弦的垂直平分线过圆心O′，即粒子运动的圆心，由几何关系知α＝30°，所以圆心角为120°。
带电粒子以速率v进入磁场经T的时间从内圆最高A点处进入电场
Bqv＝m
由几何关系得r＝Rcos 30°
则R＝
得v＝
(2)带电粒子进入电场做类平抛运动。
2rcos 60°＝vt
2rsin 60°＝
得E＝
(3)带电粒子经加速电场获得一定动能进入磁场。
U加q＝mv2
Bqv＝m
U加＝
使该粒子不进入电场并在磁场中做完整的圆周运动，经分析R有三种临界值。
讨论：
①R1＝r　v1＝r　U加1＝
②R2＝r　v2＝·r　U加2＝
③R3＝r　v3＝·r　U加3＝
加速电压的取值范围：
U加∈ 和
U加∈
答案　(1)　 (2)
(3) U加∈ 和
U加∈

解决带电粒子的临界问题的方法
数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
1.(2019·徐州六校联考)(多选)有关电荷所受电场力和磁场力的说法中，正确的是(　　)
A.电荷在磁场中一定受磁场力的作用
B.电荷在电场中一定受电场力的作用
C.电荷受电场力的方向与该处的电场方向一致
D.电荷若受磁场力，则受力方向与该处的磁场方向垂直
解析　带电粒子受洛伦兹力的条件：运动电荷且速度方向与磁场方向不平行，故电荷在磁场中不一定受磁场力作用，选项A错误；电场具有对放入其中的电荷有力的作用的性质，选项B正确；正电荷受力方向与电场方向一致，而负电荷受力方向与电场方向相反，选项C错误；磁场对运动电荷的作用力垂直磁场方向且垂直速度方向，选项D正确。
答案　BD
2.(2018·无锡模拟)洛伦兹力使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列各图中均标有带正电荷粒子的运动速度、洛伦兹力及磁场的方向，虚线圆表示粒子的轨迹，其中可能出现的情况是(　　)
解析　由粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，A图中洛伦兹力指向圆心，提供向心力，故A项正确；B图中洛伦兹力向上背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，故B项错误；C图中洛伦兹力向左背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，故C项错误；D图中洛伦兹力方向不指向圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，故D项错误。
答案　A
3.(2018·江苏镇江模拟)两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图12所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　)
图12
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子的动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
解析　由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，选项A错误；由qvB＝m得r＝，故运动的轨迹半径越大，对应的速率越大，所以b粒子的速率较大，在磁场中所受洛伦兹力较大，B错误；由Ek＝mv2可得b粒子的动能较大，选项C正确；由T＝知两者的周期相同，b粒子运动的轨迹对应的圆心角小于a粒子运动的轨迹对应的圆心角，所以b粒子在磁场中运动时间较短，选项D错误。
答案　C
4.(2018·武进一模)如图13为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁场强弱可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是(　　)
图13
A.仅增大励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变大
B.仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期将变大
C.仅提高电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
D.仅提高电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变大
解析　电子的速度是由电子枪加速获得，则有Uq＝mv2，电子做匀速圆周运动是由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，联立两式可得r＝，T＝＝。仅增加励磁线圈的电流，则磁感应强度B增大，由半径公式可知，半径将减小，A错误；仅增加励磁线圈的电流，则磁感应强度B增大，由周期公式可知，周期将减小，B项错误；仅提高电子枪的加速电压，由半径公式可知，半径将增大，但周期与半径、速度无关，C项错误，D项正确。
答案　D