人教版八年级上册数学12.2全等三角形的判定同步练习（解析版）

人教版八年级上册数学12.2全等三角形的判定同步练习
一．选择题（共16小题）
1．在下列条件中，可以判定两个三角形全等的条件是（　　）
A．三个角对应相等
B．一边对应相等且这边上的高也对应相等
C．两边对应相等且其中一边上的中线也对应相等
D．两边对应相等且其中一边的对角也对应相等
2．如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与△ABC全等（不包括本身）的三角形有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，图中全等三角形的组数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，则AE与CD的大小关系为（　　）

A．AE＝CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定
5．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．小明不小心把三角形的玻璃摔碎成3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，他最省事的是带（　　）去．

A．① B．② C．③ D．①和③
7．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80゜，∠B＝30゜，则∠F＝（　　）

A．60゜ B．65゜ C．70゜ D．80゜
8．如图，AB＝AD，BE＝DE，BC＝DC，则图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图，已知：EA⊥AB，BC⊥AB，D为AB的中点，BD＝BC，EA＝AB，则下面结论错误的是（　　）

A．AC＝ED B．AC⊥ED
C．∠C+∠E＝90° D．∠ADE+∠C＝90°
10．如图，FE＝BC，DE＝AB，∠B＝∠E＝40°，∠F＝70°，则∠A＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
11．如图，在△ABD和△ACE中．AB＝AC，AD＝AE，如果由“SAS”可以判定△ABD≌△ACE，则需补充条件（　　）

A．∠EAD＝∠BAC B．∠B＝∠C C．∠D＝∠E D．∠EAB＝∠CAD
12．如图，AB＝AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．∠AEB＝∠ADC C．AE＝AD D．BE＝DC
13．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
14．下面条件中，不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是（　　）
A．AC＝A'C'，BC＝B'C' B．AB＝A'B'，AC＝A'C'
C．AB＝B'C'，AC＝A'C' D．∠B＝∠B'，AB＝A'B'
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法：
①AD平分∠EDF；
②△EBD≌△FCD；
③AD⊥BC；
④BD＝CD．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．已知：如图，在等边三角形ABC，AD＝BE＝CF，D，E，F不是各边的中点，AE，BF，CD分别交于P，M，N在每一组全等三角形中，有三个三角形全等，在图中全等三角形的组数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共11小题）
17．如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°
（1）若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　 　．
（2）若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　 　．
（3）若∠A＝∠D，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　 　．
（4）若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　 　．
（5）若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　 　．

18．已知：如图，∠1＝∠3，∠2＝∠4，则△　 　≌△　 　．

19．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需增加的条件是　 　．

20．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC，则△　 　≌△　 　（HL）．
21．△ABC和△FED中，BE＝FC，∠A＝∠D．当添加条件　 　时（只需填写一个你认为正确的条件），就可得到△ABC≌△DFE，依据是　 　．

22．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是　 　．
23．如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝50°，那么∠B＝　 　度．

24．如图，已知∠1＝∠2，AB⊥AC，BD⊥DC，AC、BD相交于点E，则图中的全等三角形有　 　对．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠B＝50°，则∠EDF的度数为　 　度．

26．有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形　 　，理由是　 　．
27．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，垂足分别是D、E，若CE＝3，BD＝7，则DE＝　 　．

三．解答题（共11小题）
28．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．

29．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是？（只需写一个，不添加辅助线）

30．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．

31．如图，在△ABC中，∠C＝90゜，D是AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过M作ME∥BC交AB于E．求证：ME＝AB．

32．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN，求证：AM∥CN，BM∥DN．

33．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点．AD＝BD，DE＝DC，
求证：（1）∠1＝∠C．（2）BE⊥AC．

34．已知：如图，AD∥BC，∠B＝∠D．求证：△ADC≌△CBA．

35．已知：如图所示，E是AB延长线上的一点，AE＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝BE．
求证：∠ABC＝2∠C．

36．已知：如图，M是AB的中点，MC＝MD，∠1＝∠2
证明：AC＝BD．

37．已知，如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明AC＝AB+BD．
方法一：截长法：（图2）
在较长的线段上截一条线段等于较短线段．
方法二：补短法：（图3）
延长较短线段和较长线段相等．
38．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．
求证：OB＝OC．




人教版八年级上册数学12.2全等三角形的判定同步练习
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．在下列条件中，可以判定两个三角形全等的条件是（　　）
A．三个角对应相等
B．一边对应相等且这边上的高也对应相等
C．两边对应相等且其中一边上的中线也对应相等
D．两边对应相等且其中一边的对角也对应相等
【解答】解：A、错误，三个角相等，无法判断三角形全等；
B、错误，不符合全等的条件；
C、正确，符合SSS；
D、错误，不符合全等的条件．
故选：C．
2．如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与△ABC全等（不包括本身）的三角形有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：根据SSS，可以判定图中有两个三角形与△ABC相似．
故选：C．
3．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，图中全等三角形的组数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∴CD＝BE，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（ASA），
∴OB＝OC，OE＝OD，
因此△AOD≌△AOE（SAS），
同理：△AOC≌△AOB，
故选：B．
4．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，则AE与CD的大小关系为（　　）

A．AE＝CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定
【解答】解：AE＝CD，理由如下：
∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
故选：A．
5．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解答】解：①△BCF≌△CBE
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠CFB＝∠BEC＝90°
∵BE＝CF，BC＝BC
∴△BCF≌△CBE（HL）；
②△ABE≌△ACF
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AFC＝∠AEB＝90°
∵BE＝CF，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACF（HL）；
③BOF≌△COE
设BE与CF相交于点O，
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠OFB＝∠OEC
∵BF＝CE，∠BOF＝∠COE
∴△BOF≌△COE（AAS）．
故选：C．

6．小明不小心把三角形的玻璃摔碎成3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，他最省事的是带（　　）去．

A．① B．② C．③ D．①和③
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
7．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80゜，∠B＝30゜，则∠F＝（　　）

A．60゜ B．65゜ C．70゜ D．80゜
【解答】解：∵BD＝EC，
∴BD+CD＝EC+DC，
∴BC＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠FDE，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴∠E＝∠B＝30°，∠FDE＝∠ACB＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠B﹣∠FDE＝70°，
故选：C．
8．如图，AB＝AD，BE＝DE，BC＝DC，则图中全等三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解答】解：在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SSS）；
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SSS）；
综上可得共有3对全等图形．
故选：C．
9．如图，已知：EA⊥AB，BC⊥AB，D为AB的中点，BD＝BC，EA＝AB，则下面结论错误的是（　　）

A．AC＝ED B．AC⊥ED
C．∠C+∠E＝90° D．∠ADE+∠C＝90°
【解答】解：∵D为AB的中点，BD＝BC，
∴AD＝BC．
∵EA⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB，
∴△ADE≌△ACB．
A、根据△ADE≌△ACB，得AC＝ED．故该选项正确；
B、根据△ADE≌△ACB，得∠E＝∠BAC，又∠E+∠ADE＝90°，则∠BAC+∠ADE＝90°，则AC⊥ED．故该选项正确；
C、根据△ADE≌△ACB，得∠E＝∠BAC，又∠BAC+∠C＝90°，则∠C+∠E＝90°．故该选项正确；
D、根据△ADE≌△ACB，得∠C＝∠ADE．故该选项错误．
故选：D．
10．如图，FE＝BC，DE＝AB，∠B＝∠E＝40°，∠F＝70°，则∠A＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F＝70°．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
故选：D．
11．如图，在△ABD和△ACE中．AB＝AC，AD＝AE，如果由“SAS”可以判定△ABD≌△ACE，则需补充条件（　　）

A．∠EAD＝∠BAC B．∠B＝∠C C．∠D＝∠E D．∠EAB＝∠CAD
【解答】解：补充∠EAD＝∠BAC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中M
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故选：A．
12．如图，AB＝AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．∠AEB＝∠ADC C．AE＝AD D．BE＝DC
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴若以“SAS”得出△ABE≌△ACD，
则AE＝AD．
故选：C．
13．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来
【解答】解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
又AC＝AB，
∴△AEC≌△BAD，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故选：C．
14．下面条件中，不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是（　　）
A．AC＝A'C'，BC＝B'C' B．AB＝A'B'，AC＝A'C'
C．AB＝B'C'，AC＝A'C' D．∠B＝∠B'，AB＝A'B'
【解答】解：
当AC＝A'C'，BC＝B'C'时，在两三角形中，可利用HL或SAS来证明，故A可以；
当AB＝A'B'，AC＝A'C'时，在两三角形中，可利用HL或SAS来证明，故B可以；
当AB＝B'C'，AC＝A'C'时，AB和B′C不是对应边，故不能证明两三角形全等，故C不可以；
当∠B＝∠B′，AB＝A′B′时，在两三角形中，可用AAS或ASA来证明，故D可以；
故选：C．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法：
①AD平分∠EDF；
②△EBD≌△FCD；
③AD⊥BC；
④BD＝CD．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
又∵BE＝CF，
∴△EBD≌△FCD，且△ADE≌△ADF，
∴∠ADE＝∠ADF，即AD平分∠EDF．
所以四个都正确．
故选：D．
16．已知：如图，在等边三角形ABC，AD＝BE＝CF，D，E，F不是各边的中点，AE，BF，CD分别交于P，M，N在每一组全等三角形中，有三个三角形全等，在图中全等三角形的组数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C，AC＝AB＝BC
∵AD＝BE＝CF
∴△CFB≌△BEA≌△ADC；
∵AD＝BE＝CF
∴AF＝BD＝CE
∵∠A＝∠B＝∠C，AC＝AB＝BC
∴△CAE≌△BAF≌△AEC；
∵∠EAB＝∠DCA＝∠CFB（△CFB≌△BEA≌△ADC）
∴∠CAN＝∠BPA＝∠BCM
∵AC＝AB＝BC
∴△CMB≌△BPA≌△ANC；
∴CM＝BP＝AN
∵AD＝BE＝CF，∠EAB＝∠DCA＝∠CFB
∴△CFM≌△BEP≌△ADN；
∵AE＝BF＝CD，CM＝BP＝AN
∴AP＝BM＝CN
∵AF＝BD＝CE，∠FAP＝∠MBD＝∠ECN
∴△AFP≌△BMD≌△CNE．
故选：A．
二．填空题（共11小题）
17．如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°
（1）若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　AAS　．
（2）若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　ASA　．
（3）若∠A＝∠D，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　AAS　．
（4）若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　HL　．
（5）若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是　SAS　．

【解答】解：（1）若∠A＝∠D，BC＝EF，又因为∠C＝∠F＝90°，所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝∠D，AC＝DF，又因为∠C＝∠F＝90°，所以可根据ASA判定Rt△ABC≌Rt△DEF；
（3）若∠A＝∠D，AB＝DE，又因为∠C＝∠F＝90°，所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF；
（4）因为∠C＝∠F＝90°，若AC＝DF，AB＝DE，所以可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF；
（5）若AC＝DF，CB＝FE，又因为∠C＝∠F＝90°，所以可根据SAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故答案为AAS、ASA、AAS、HL、SAS．
18．已知：如图，∠1＝∠3，∠2＝∠4，则△　ABC　≌△　CDA　．

【解答】解：∵在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
故答案为：ABC；CDA．
19．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需增加的条件是　AE＝DC　．

【解答】解：条件是AE＝DC，
理由是：在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SSS），
故答案为：AE＝DC．
20．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC，则△　ABE　≌△　DCF　（HL）．
【解答】证明：∵在△ABE和△DCF中，
AE⊥BC，DF⊥BC，AE＝DF，AB＝DC，
符合直角三角形全等条件HL，
所以△ABE≌△DCF，
故填：ABE；DCF．
21．△ABC和△FED中，BE＝FC，∠A＝∠D．当添加条件　∠B＝∠DEC　时（只需填写一个你认为正确的条件），就可得到△ABC≌△DFE，依据是　AAS　．

【解答】解：添加∠B＝∠DEC．
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：∠B＝∠DEC，AAS

22．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是　（1）和（2）　．
【解答】解：∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（2）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故（1）和（2）．
23．如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝50°，那么∠B＝　50　度．

【解答】解：∵AD＝AE，∠1＝∠2，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，
又BE＝CD，
∴BF＝CF，
又∠DFB＝∠EFC，
∴△DFB≌△EFC，
∠B＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝50°．
故填50．
24．如图，已知∠1＝∠2，AB⊥AC，BD⊥DC，AC、BD相交于点E，则图中的全等三角形有　2　对．

【解答】解：∵AB⊥AC，BD⊥DC，
∴∠A＝∠D＝90°，
在△ACB和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴AB＝DC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
故答案为：2．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠B＝50°，则∠EDF的度数为　50　度．

【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵BE＝CD，BD＝CF
∴△BED≌△CDF（SAS）
∴∠BDE＝∠CFD，∠BED＝∠CDF
∵∠EDF＝180°﹣∠CDF﹣∠BDE＝180°﹣（∠CDF+∠BDE）
∵∠B＝50°
∴∠BDE+∠BED＝130°即∠CDF+∠BDE＝130°
∴∠EDF＝50°．
故填50．
26．有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形　全等　，理由是　AAS　．
【解答】解：根据直角三角形的性质，有一锐角和斜边对应相等，且两直角相等，由AAS可判定两三角形全等．
27．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，垂足分别是D、E，若CE＝3，BD＝7，则DE＝　4　．

【解答】解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣∠CAE，
在△AEC中，∠ACE＝∠AEC﹣∠CAE＝90°﹣∠CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ADB和△CEA中，AB＝AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE＝7﹣3＝4．
故填空答案：4．

三．解答题（共11小题）
28．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出四个论断：
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF．
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．

【解答】解：（1）①③④为条件，②为结论；
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF；故本命题为真命题；
（2）①②④为条件，③为结论；
∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF；故本命题为真命题；
（3）①②③为条件，④为结论；
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题；
（4）②③④为条件，①为结论；
无法证明△ABC≌△DEF，故本命题不是真命题；
答：可得到4个命题，其中真命题有2个．
29．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是？（只需写一个，不添加辅助线）

【解答】解：AC＝DF，
理由是：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），
即这个条件可以是AC＝DF．
30．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．

【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，
∴EF＝CF﹣BE；
（2）EF＝BE+CF
理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，
∴EF＝BE+CF．

31．如图，在△ABC中，∠C＝90゜，D是AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过M作ME∥BC交AB于E．求证：ME＝AB．

【解答】证明：∵ME∥BC，
∴∠B＝∠MED，
在△DME和△CAB中
，
∴△DME≌△CAB （AAS），
∴ME＝AB．
32．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC＝BD，AM＝CN，BM＝DN，求证：AM∥CN，BM∥DN．

【解答】证明：∵AC＝BD，
∴AC+BC＝BD+BC，即AB＝CD，
∵在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SSS），
∴∠A＝∠NCD，∠MBA＝∠D，
∴AM∥CN，BM∥DN．
33．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点．AD＝BD，DE＝DC，
求证：（1）∠1＝∠C．（2）BE⊥AC．

【解答】证明：（1）∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝BD，DE＝DC，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠1＝∠C；

（2）先延长BE交AC上一点F，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠DBE＝∠CAD，
∵∠CAD+∠C＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°
∴BF⊥AC，
∴BE⊥AC．

34．已知：如图，AD∥BC，∠B＝∠D．求证：△ADC≌△CBA．

【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（AAS）．
35．已知：如图所示，E是AB延长线上的一点，AE＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝BE．
求证：∠ABC＝2∠C．

【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
在△ADE和△ADC中，
∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠E＝∠C，
∵BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E，
∴∠ABC＝2∠C．
36．已知：如图，M是AB的中点，MC＝MD，∠1＝∠2
证明：AC＝BD．

【解答】证明：∵M是AB中点，
∴MA＝MB，
在△AMC和△BMD中，
，
∴△AMC≌△BMD，
∴AC＝BD．
37．已知，如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明AC＝AB+BD．
方法一：截长法：（图2）
在较长的线段上截一条线段等于较短线段．
方法二：补短法：（图3）
延长较短线段和较长线段相等．
【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中

∴△BAD≌△EAD，
∴BD＝DE，∠B＝∠AED，
∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝EC＝BD，
∴AC＝AE+CE＝AB+BD；
方法二、如图3，延长AB到F，使AF＝AC，连接DF，
∵在△FAD和△CAD中

∴△FAD≌△CAD，
∴∠C＝∠F，
∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠F+∠BDF，
∴∠F＝∠BDF，
∴BD＝BF，
∴AC＝AF＝AB+BD．
38．如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC．
求证：OB＝OC．

【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（AAS）．
∴OD＝OE．
在△BOD和△COE中，，
∴△BOD≌△COE（ASA）．
∴OB＝OC．