人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习（解析版）

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习
一．选择题（共11小题）
1．下列作图属于尺规作图的是（　　）
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（　　）

A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（　　）

A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB
5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）

A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定
6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（　　）

A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能确定
7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（　　）

A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定
8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（　　）
A．两角平分线交点在三角形内
B．两角平分线交点在第三个角的平分线上
C．两角平分线交点到三边距离相等
D．两角平分线交点到三顶点距离相等
9．给出下列结论，正确的有（　　）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；
其中正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD
二．填空题（共8小题）
12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：
（1）若∠1＝∠2，则　 　＝　 　；
（2）若∠3＝∠4，则　 　＝　 　．

13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为　 　．
14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝　 　cm．

15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：
①DA平分∠EDF；
②AE＝AF，DE＝DF；
③AD上的点到B，C两点的距离相等；
④图中共有3对全等三角形，
正确的有　 　．

16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB的距离为　 　．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝　 　 cm．

18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE　 　DF．
（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1　 　∠2．

19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝　 　．

三．解答题（共9小题）
20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．

21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：
（1）DE＝DC；
（2）BD＝DF．

22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．

23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在PA上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．

24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．

26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．

27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．

28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．




参考答案
一．选择题（共11小题）
1．下列作图属于尺规作图的是（　　）
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；
B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；
C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；
D、正确．
故选：D．
2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（　　）

A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝1.5cm，
∵BD＝3cm，
∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故选：A．
4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（　　）

A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB
【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，
∴结论不正确的是AE＝CE．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）

A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定
【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，
∴AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE．
故选：C．

6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（　　）

A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能确定
【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，
∴P在∠COD的角平分线上，
即∠1＝∠2，
故选：B．
7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（　　）

A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定
【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，
∴点D在∠AOB的平分线上，
∴∠AOD＝∠BOD．
故选：B．
8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（　　）
A．两角平分线交点在三角形内
B．两角平分线交点在第三个角的平分线上
C．两角平分线交点到三边距离相等
D．两角平分线交点到三顶点距离相等
【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；
B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；
C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；
D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．
故选：D．
9．给出下列结论，正确的有（　　）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；
②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；
③任何一个命题都有逆命题，正确；
④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．
故选：A．
10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；
其中正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE．
故选：B．
11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD
【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；
B、OD＝OE，正确；
C、DPO＝∠EPO，正确；
D、错误．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：
（1）若∠1＝∠2，则　BC　＝　DC　；
（2）若∠3＝∠4，则　AB　＝　AD　．

【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；
（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．
故答案为：BC，DC；AB，AD．
13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为　6　．
【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，
∴点M到OB的距离＝6．
故答案为：6．
14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝　2　cm．

【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM＝2cm，
∴PN＝PM＝2cm．
故答案为：2．
15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：
①DA平分∠EDF；
②AE＝AF，DE＝DF；
③AD上的点到B，C两点的距离相等；
④图中共有3对全等三角形，
正确的有　①②　．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，
∴DA平分∠EDF；故①②正确，
∵无法判定AD⊥BC且平分BC，
∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，
∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．
故答案为：①②．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB的距离为　3　．

【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵BC＝5，BD＝2，
∴CD＝5﹣2＝3，
∵AD为角平分线，
∴CD＝DE＝3，
故答案为：3．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝　8　 cm．

【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵DE＝3cm，BD＝5cm，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．
故答案为：8．
18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE　＝　DF．
（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1　＝　∠2．

【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2
∴AD为∠BAC的平分线
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴由角平分线性质得DE＝DF．
（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE，DF为点D到角两边的距离．
又∵DE＝DF，
∴由角平分线性质知AD为角平分线．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝　2　．

【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，
∴四边形CFOE是矩形；
∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，
∴OE＝OP＝OF，
∴四边形CFOE是正方形，
设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，
∴5﹣x+12﹣x＝13，
解得x＝2，
∴OP＝OE＝2．
故答案为2．

三．解答题（共9小题）
20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．

【解答】解：点P如图所示．

21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：
（1）DE＝DC；
（2）BD＝DF．

【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC；

（2）在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴BD＝DF．
22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．

【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF．
23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在PA上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．

【解答】解：∵CE⊥PA，ED⊥PB，CE＝ED，
∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，
在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．
24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴AE是∠DAB平分线．

25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．

【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，
∴CD＝＝28，
∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝28．
答：D到AB的距离为28．
26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．

【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝AB?DE+BC?DF＝90，
即×18?DE+×12?DE＝90，
解得DE＝6．

27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．

【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
则S△ABD＝AB?DM，S△ACD＝AC?DN，
∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠BAC．

28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．

【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，
∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，
∴PD＝PE，PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴AP平分∠BAC，
即AQ，BM，CN交于一点P．