沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷（含解析）

二次函数单元测试卷
一、单选题（每题4分共40分)
1．下列函数中是二次函数的是　　
A． B． C． D．
2．下列抛物线中，开口最大的是（　　）
A．y= B． C．y ＝－ x 2 D．y=-
3．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是(　　)
A. B. C. D.
4．如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点；小彬答：过点；小明答： ；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为你认为四人的回答中，正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）2
C．y＝
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
6．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为　　

A． B． C． D．0
7．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4
8．已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为
A． B．
C． D．
9．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y=的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（　　）

A.4 B.2 C.1 D.
10．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）

A．2m B．2m C．m D．m
二、填空题
11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是二次函数y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：
x … － －1 － 0 1 …
y … － －2 － －2 － 0 …

则该二次函数的表达式为______．
13．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇宽门的长方形花圃．设花圃宽为，面积为，则与的函数表达式为________．

14．已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2时，y>0；③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<-1，x2>-1；⑤x2-x1=，其中所有正确的结论是_______(只需填写序号).

三、解答题
15．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
16．已知某二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．
17．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．

(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
18．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.
19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．

20．如图，二次函数的图象经过点与．
求a，b的值；
点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

21．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用28m长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围AB，BC两边，设?m，花园的面积为S．
求S与x之间的函数表达式；
若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，求花园面积的最大值．

22．已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
23．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲. 节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数.?
销售单价 (元/件) … 30 40 50 60 …
每天销售量 (件) … 350 300 250 200 …

（1）求出与的函数关系；
（2）物价局要求,销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100﹪：
①当销售单价取何值时,该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元?(利润=销售总价-成本价)；
②试确定销售单价取何值时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出花店销该鲜花礼盒每天获得的最大利润.



参考答案
1．D
【解析】
根据二次函数的定义逐个分析即可.
【详解】
A. 是一次函数；
B. ，是三次函数；
C. =2x+1，是一次函数；
D. ，是二次函数.

故选：D
【点睛】
本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数的定义.
2．D
【解析】抛物线y＝ax 2 ，| a |越小，抛物线的开口越大．
∵
∴
∴y=-开口最大.
故选：D.
3．D
【解析】
根据a＜0，b＞0，c＜0可知抛物线开口方向向下，对称轴x=-0，与y轴交点在负半轴,以此即可判断.
【详解】
∵在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，
∴抛物线开口方向向下，对称轴x=-0，与y轴交点在负半轴,
故选D.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
4．C
【解析】试题解析：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，
∴，
解得a=1，b=-4，
∴y=x2-4x+3，
当x=3时，y=0，小华正确；
当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；
∵抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），
∴另一点为（-1，0）或（3，0），
∴对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，
∴小颖错误．
故选C．
5．B
【解析】
根据题意，由“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2.
故选：B．
点睛：?本题主要考查列二次函数解析式，得到2017年产量的等量关系是解决本题的关键．
6．A
【解析】
∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=?k有交点，
由图可得，?k≤4，
∴k≥?4，
∴k的最小值为?4.
故选A.
7．D
【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
详解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；
解方程-x2+2x+3=0，
得x1=-1，x2=3，
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
8．C
【解析】试题解析：函数y=（x-x1）（x-x2）的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2；
函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象是由函数y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移2个单位得到的，
则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程（x-x1）（x-x2）=2]的两根x3、x4即为函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象与x轴的交点的横坐标，
它们的大致图象如图所示：

根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．
故选C．
9．C
【解析】
作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据矩形的性质得矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k=1．
【详解】
作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图，

∵点P为矩形AOBC对角线的交点，
∴矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，
∴|k|=1，
而k＞0，
∴k=1，
∴过P点的反比例函数的解析式为y= ．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．A
【解析】
建立如图所示直角坐标系：

可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–，
∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A．
11．＞
【解析】
将点A（4，y1）、B（﹣4，y2）分别代入y=（x+3）2﹣2求出y1、y2值进行比较即可得.
【详解】
将点A（4，y1）、B（﹣4，y2）分别代入y=（x+3）2﹣2得
y1=（4+3）2-2=47，
y2=（-4+3）2-2=-1，
所以y1>y2，
故答案为：>.
【点睛】
本题考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握比较方法是解题的关键.
12．y＝x2＋x－2
【解析】
选取三组自变量与因变量的值（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）代入解析式即可解出.
【详解】
把（-1，-2）、（0，-2）、（1，0）分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
得
∴y＝x2＋x－2.
【点睛】
此题主要考查二次函数的解析式，用待定系数法是解题的关键.
13．
【解析】
根据题意表示出矩形的长为：24-2x+t,进而利用矩形面积公式得出答案.
【详解】
由题意矩形的长为：24-2x+t,
∴y=x(24-2x+t)
=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用---几何问题，正确表示出矩形的长是解答本题的关键.
14．（1）、（3）、（4）
【解析】
把相应的x的值代入可判断（1）；由k值的不确定可判断（2）、（5）；将二次函数与x轴的交点即为转换为一元二次方程等于0的解可判断（3）；两根与-1相关就加上1后应用相关不等式整理结果可判断（4）．
【详解】
（1）把x=?2直接代入函数式可得y=1，故本选项正确；
（2）因不知道k的符号，就不知道开口方向，无法确定增减性，故本选项错误；
（3）因二次函数y=kx2+(2k?1)x?1与x轴有两个交点,所以,方程kx2+(2k?1)x?1=0有两个不相等的实数根x1、x2，故本选项正确；
（4）∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1= +1=?1<0，
又x1∴x1+10,
即x1?1，故本选项正确；
（5）因为k的符号不确定,无法知道x2?x1的大小，故本选项错误。
∴正确的结论是（1）、（3）、（4）.
故答案为：（1）、（3）、（4）.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的相关性质进行分析判断是解题的关键.
15．（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：

16．y＝－2x2＋4x.
【解析】
先依题意求出二次函数的顶点坐标，再利用点(3，－6)即可求出解析式.
【详解】
设二次函数图象的顶点坐标为(x，2)，则2＝x＋1，
所以x＝1，
所以图象的顶点为(1，2)．
设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋2，
将点(3，－6)的坐标代入上式，得a＝－2.
所以该函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.
【点睛】
此题主要考查二次函数的解析式，二次函数性质是解题的关键.
17．（1）x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）l＜x＜3；（3）当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）k＜2．
【解析】试题分析：（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题
（2）根据抛物线y=ax2+bx+c，求得y＞0的x取值范围即可解题；
（3）图中可以看出抛物线对称轴，即可解题；
（3）易求得抛物线解析式，根据方程△＞0即可解题．
试题解析：（1）图中可以看出抛物线与x?轴交于(1，0)?和(3，0)?，
∴?方程ax2+bx+c=0?的两个根为x=1?或x=3?；
（2）不等式ax2+bx+c>0?时，通过图中可以看出：当10?，
∴?不等式ax2+bx+c>0?的解集为(1，3)?；
（3）图中可以看出对称轴为x=2?，
∴?当x>2?时，y?随x?的增大而减小；
（4）∵?抛物线y=ax2+bx+c?经过(1，0)，(2，2)，(3，0)?，
∴，
解得：a=?2?，b=8?，c=?6?，
∴?2x2+8x?6=k,?移项得?2x2+8x?6?k=0?，
△=64?4(?2)(?6?k)>0?，
整理得：16?8k>0?，
∴k<2?时,?方程ax2+bx+c=k?有2?个相等的实数根。
18．y=-10x 2 +280x-1 600.
【解析】试题分析：确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，即可得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.
试题解析：销售价每件定为x元，则每件利润为（x-8）元，销售量为[100-10（x-10）]件，
根据利润=每件利润×销售量，
可得销售利润y=（x-8）?[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，正确确定数量关系是解题的关键.
19．(1) 反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=﹣x+4．(2)8.
【解析】
（1）根据反比例函数y2=的图象过点A（2，3），利用待定系数法求出m，进而得出B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）设直线y1=kx+b与x轴交于C，求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC，列式计算即可．
【详解】
（1）∵反比例函数y2=的图象过A（2，3），B（6，n）两点，∴m=2×3=6n，∴m=6，n=1，∴反比例函数的解析式为y=，B的坐标是（6，1）．
把A（2，3）、B（6，1）代入y1=kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x+4．
（2）如图，设直线y=﹣x+4与x轴交于C，则C（8，0）．
S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=×8×3﹣×8×1=12﹣4=8．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△AOC﹣S△BOC是解题的关键．
20．（1）（2）最大值为16．?
【解析】
（1）将与代入，用待定系数法可求得；（2）过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，
则，关于x的函数表达式为，再求二次函数的最值即可.
【详解】
解：将与代入，

得，解得：；
如图，过A作x轴的垂直，垂足为，连接CD、CB，过C作，轴，垂足分别为E，F，
；
；
，
则，
关于x的函数表达式为，
，
当时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
【点睛】
本题考核知识点：二次函数与几何. 解题关键点：数形结合列出面积表达式，求二次函数的最值.
21．；花园面积的最大值为．
【解析】
根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；
由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
【详解】
，
．
则．
即
由题意可知，，
解得．
由知，．
当时，S随x的增大而增大，
当时，，
即花园面积的最大值为．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
22．(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3；（3）y=x+c；（4）b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM的解析式；
（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；
（3）方法同（1）；
（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：
抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①
由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②
根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．
解：(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得=2, 整理得b2=8ac,
综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
23．见解析
【解析】
分析：(1)、利用待定系数法求出函数解析式；(2)①、根据题意列出方程，从而求出x的值，然后根据利润不高于100%得出答案；②、根据题意得出W与x的函数关系式，然后根据二次函数的增减性得出答案．
详解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将和分别的代入y=kx+b得，
，解得，所以，
（2）①据题意得： ，
又因为，
当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元．
②据题意得，，，
即当

所以，当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大，最大利润．
点睛：本题主要考查的是待定系数法求函数解析式、一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是列出方程和函数解析式．






试卷第6页，总6页


试卷第5页，总6页