《高中数学》必会基础题型6—《立体几何》
文档属性
| 名称 | 《高中数学》必会基础题型6—《立体几何》 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 136.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-29 21:28:14 | ||
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文档简介
《数学》必会基础题型——《立体几何》
【知识点1】平行的判定与证明
1.线线平行的证明：【线线平行的定义：在同一平面内没有公共点】
方法①文字：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行。
符号：若，则。
方法②文字：若一条直线与一个平面平行，则与过这条直线的平面与已知平面的交线平行。
符号：若，则。
方法③文字：若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
符号：若，则。
方法④文字：若两个平行平面同第三个平面相交，则两条交线平行。
符号：若，则。
2.线面平行的证明：【线面平行的定义：线面没有公共点】
方法①文字：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面。
符号：若，则。
方法②文字：若两个面平行，则一个面内的直线平行于另一个平面。
符号：若，则。
3.面面平行的证明：【面面平行的定义：面面没有公共点】
方法①文字：若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号：若，则。
方法②文字：若一条直线同时垂直两个平面，则这两个平面平行。
符号：若，则。
【知识点2】垂直的判定与证明
1.线线垂直的证明：【线线垂直的定义：两直线所成的角为】
方法①定义法：相交的两直线的夹角等于。【常用中位线转化到三角形中】
方法②文字：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个面内的任意一条直线。
符号：若，则。
2.线面垂直的证明：【线面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直】
方法①文字：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
符号：若，则。
方法②文字：若两条平行直线中的一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面。
符号：若，则。
方法③文字：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
符号：若，则。
3.面面垂直的证明：【面面垂直的定义：面面所成的角的平面角为】
方法①定义法：做出二面角的平面角，求证这个平面角为直角。
方法②文字：经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。
符号：若，则。
【知识点3】体积与面积
1.球：体积：；表面积：。
2.柱体（圆柱、棱柱）： （注意：侧面积与表面积不同）
体积：（是柱体的底面积、是柱体的高）；
侧面积：（是柱体的底面半径、是柱体的高）。
3.椎体（圆锥、棱锥）：
体积：（是锥体的底面积、是锥体的高）；
侧面积：（是锥体的底面半径、是锥体的母线）。
4.长方体：（是从同一个顶点出发的三条棱的长）
体积：
表面积：
体对角线： （注意：体对角线与面对角线不同）
5.球的组合体：
①外接球：正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。
②内切球：正方体的内切球的直径是正方体的棱长。
长方体不一定有内切球。
③棱切球：正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长。
【知识点4】三视图、直观图、投影
两种题型：①由实物画出三视图，②由三视图还原出实物。
例1：如右图为一个几何体的三视图，已知府视图为正三角形，，，则该几何体的表面积为（ ）
A.6+ B.24+ C.24+2 D.32
例2：右图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成。
【典型习题】
1.一个几何体的正视图和俯视图是矩形，侧视图是三角形，则这个几何体是 。
2.下列命题正确的是（ ）
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的平行投影可能平行
D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段的中点
3.对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A.2倍 B.倍 C.倍 D.倍
4. (2009山东理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
5.（2009海南文理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ）
A.48+12 B.48+24
C.36+12 D.36+24
6.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 。
【综合练习】
1.已知直线与平面不平行，则下列结论成立的是（ ）
A.内所有的直线都与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内所有的直线都与相交 D.直线与平面有公共点
2.下列四个命题：①过三点确定一个平面，②矩形是平面图形，
③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域。
其中错误命题的序号是 。
3.已知两个平面垂直，在下列命题中错误的命题是 。
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面。
4.在下列命题中，错误的命题有 。
①若直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
②若直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
③若异面直线不垂直，则过的任何平面都与不垂直； ④若直线和共面，直线和共面，则和共面。
5.正方体中，与面的对角线异面的棱有 条。
6.棱长都是1的三棱锥的表面积为 。
7.一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 。
8.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 。
9.已知某长方体共顶点的三个面的面积分别是，则该长方体的对角线长是___ ___；
若长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为____ __。
10．如右上图的正方体，分别为正方体的两个侧面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是____________。
11．如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请说明理由。
12.如右图，正三棱柱，点在棱上，若，求证：直线平面。
13.如右图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱，，有一虫子从沿三个侧面爬到，求虫子爬行的最短距离。
【知识点1】平行的判定与证明
1.线线平行的证明：【线线平行的定义：在同一平面内没有公共点】
方法①文字：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行。
符号：若，则。
方法②文字：若一条直线与一个平面平行，则与过这条直线的平面与已知平面的交线平行。
符号：若，则。
方法③文字：若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
符号：若，则。
方法④文字：若两个平行平面同第三个平面相交，则两条交线平行。
符号：若，则。
2.线面平行的证明：【线面平行的定义：线面没有公共点】
方法①文字：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面。
符号：若，则。
方法②文字：若两个面平行，则一个面内的直线平行于另一个平面。
符号：若，则。
3.面面平行的证明：【面面平行的定义：面面没有公共点】
方法①文字：若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号：若，则。
方法②文字：若一条直线同时垂直两个平面，则这两个平面平行。
符号：若，则。
【知识点2】垂直的判定与证明
1.线线垂直的证明：【线线垂直的定义：两直线所成的角为】
方法①定义法：相交的两直线的夹角等于。【常用中位线转化到三角形中】
方法②文字：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个面内的任意一条直线。
符号：若，则。
2.线面垂直的证明：【线面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直】
方法①文字：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
符号：若，则。
方法②文字：若两条平行直线中的一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面。
符号：若，则。
方法③文字：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
符号：若，则。
3.面面垂直的证明：【面面垂直的定义：面面所成的角的平面角为】
方法①定义法：做出二面角的平面角，求证这个平面角为直角。
方法②文字：经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。
符号：若，则。
【知识点3】体积与面积
1.球：体积：；表面积：。
2.柱体（圆柱、棱柱）： （注意：侧面积与表面积不同）
体积：（是柱体的底面积、是柱体的高）；
侧面积：（是柱体的底面半径、是柱体的高）。
3.椎体（圆锥、棱锥）：
体积：（是锥体的底面积、是锥体的高）；
侧面积：（是锥体的底面半径、是锥体的母线）。
4.长方体：（是从同一个顶点出发的三条棱的长）
体积：
表面积：
体对角线： （注意：体对角线与面对角线不同）
5.球的组合体：
①外接球：正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。
②内切球：正方体的内切球的直径是正方体的棱长。
长方体不一定有内切球。
③棱切球：正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长。
【知识点4】三视图、直观图、投影
两种题型：①由实物画出三视图，②由三视图还原出实物。
例1：如右图为一个几何体的三视图，已知府视图为正三角形，，，则该几何体的表面积为（ ）
A.6+ B.24+ C.24+2 D.32
例2：右图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成。
【典型习题】
1.一个几何体的正视图和俯视图是矩形，侧视图是三角形，则这个几何体是 。
2.下列命题正确的是（ ）
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的平行投影可能平行
D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段的中点
3.对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A.2倍 B.倍 C.倍 D.倍
4. (2009山东理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
5.（2009海南文理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ）
A.48+12 B.48+24
C.36+12 D.36+24
6.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 。
【综合练习】
1.已知直线与平面不平行，则下列结论成立的是（ ）
A.内所有的直线都与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内所有的直线都与相交 D.直线与平面有公共点
2.下列四个命题：①过三点确定一个平面，②矩形是平面图形，
③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域。
其中错误命题的序号是 。
3.已知两个平面垂直，在下列命题中错误的命题是 。
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面。
4.在下列命题中，错误的命题有 。
①若直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
②若直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
③若异面直线不垂直，则过的任何平面都与不垂直； ④若直线和共面，直线和共面，则和共面。
5.正方体中，与面的对角线异面的棱有 条。
6.棱长都是1的三棱锥的表面积为 。
7.一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 。
8.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 。
9.已知某长方体共顶点的三个面的面积分别是，则该长方体的对角线长是___ ___；
若长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为____ __。
10．如右上图的正方体，分别为正方体的两个侧面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是____________。
11．如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请说明理由。
12.如右图，正三棱柱，点在棱上，若，求证：直线平面。
13.如右图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱，，有一虫子从沿三个侧面爬到，求虫子爬行的最短距离。