高中数学必修五：3.1不等关系教学设计

不等关系
一、教学目标
1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了
解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.
2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等
关系；
3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情
境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的
学习方式，提高学习质量。
二、教学重、难点
教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）
研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
三、教学过程
一、引入新课：
用不等式表示下列不等关系：
（1）姚明身高2.26米，咱们班某位同学的身高；
（2）博尔特的百米纪录9秒58，咱们班同学的百米最快速度；
（3）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；
（4）限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，表示为
（5）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为
（6）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪. 表示为
（7）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为
（8）如图反映了某公司产品的销售收入万元与销售量的函数关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.试问：
当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本）；
当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？
解（1）当销售量大于时，即时，公司赢利，即
（2）当销售量小于时，即时，公司亏损，即
（8）某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
（9）、某单位计划买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
从上面的例子，我们可以感受到，不等关系反映在日常生活的方方面面。从数学意义上讲，不等关系可以体现：
常量与常量之间的不等关系；
常量与变量之间的不等关系；
变量与变量之间（函数与函数之间）的不等关系；
一组变量之间的不等关系。
二、新知讲授
1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）
（3）不等式研究的范围是实数集R．
2．判断两个实数大小的条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．比较两个实数大小的条件是：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．
三、典例解析：
例1．比较与的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.
本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项.
解：由题意可知：
∵-=
∴
例2．已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.?
解：由题意可知：
（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1
＝x2 ∵x≠0 ∴x2＞0? ∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0?∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1.
例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?
在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：
当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写.
得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要.?
总结：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结论．
四、课堂练习：
1．在以下各题的横线处适当的不等号：
（1）（＋）2 6＋2；（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；（4）当a＞b＞0时，loga logb.
答案：（2）＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
2．选择题 若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可.
∵a＜0，－1＜b＜0 ∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞a ab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2
a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2 故ab＞ab2＞a. 答案：D
3．比较大小：
(1)（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2；
(2)log与log.
解：(1)（x＋5）（x＋7）－（x＋6）2
＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）＝－1＜0
∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2
(2)解法一：(作差法)
log－log＝＝＞0
∴log＞log
解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介)
∵函数y＝logx和y＝logx在（0，＋∞）上是减函数且＞
∴log＞log＝1，log＜log＝1
∴log＞log.
4．如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小.
解：（－1）2－（＋1）2
＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1）
或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4
∵x＞0 ∴＞0 ∴－4＜0
∴（－1）2＜（＋1）2
五、课堂小结：
现实世界和日常生活中常见的不等式组关系
实数的运算性质与大小顺序之间的关系
六、课后作业：
课本74页A组1-3在课本做，4、5.