高中数学必修五： 基本不等式教学设计

3.3基本不等式
教学目标：
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】
一、课题导入
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课
1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．重要不等式：如果
证明：,
当
所以，，即
由上面的结论，我们又可得到
3．基本不等式：令，由上述不等式可得，其中
当且仅当时，等号成立.
即，如果a,b是正数，那么
证明：∵
，即
显然，当且仅当
说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件
iv）数列角度:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
4.根据你学过平面几何知识，你是否能用平面几何图形对得到不等式（2）进行几何解释：均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”．
以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b．过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即
这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立．
三、实例应用
例1 已知为正数，试比较的大小.
分析：特殊化探究—猜想排序—严格证明. 略证： ，
说明：思考上述不等式链的几何解释.
由直角三角形的射影定理可知，若斜边上的高将斜边分为两份，那么斜边上的高即为，斜边上的中线长即为,作
，垂足为，则.在上取，使得，则由知，，而.显然有，因此，.
四、课堂练习
1.P90练习：如图，正方形的边长为，请你利用写出一个含有不等式来，并与前面的不等式比较，与同学交流体会.
2、已知a、b、c、d都是正数，求证：
（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识．
证明：由a、b、c、d都是正数，得
≥＞0，≥＞0，
∴≥abcd
即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd
3、已知，证明：
五．课堂小结
1．重要不等式：如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
3.均值不等式链：若,则.
六．课后作业：
1． 已知为正数，求证：.
2．已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3．