-高中数学必修五 2.2等差数列教学设计

人民教育出版社A版必修5第二章第二节《等差数列》第1课时

教学内容分析
《等差数列》是人民教育出版社A版数学（必修5）（全日制普通高级中学教科书）第二章数列中第二节的内容，主要包括：等差数列的概念和等差数列的通项公式．数列在整个中学数学教学内容中处于一个知识的汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有着广泛的实际应用．数列起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；另一方面，学习数列又为进一步学习数列内容作好了准备．
教学目标设置
从实际情境中抽象出等差数列的定义，体会特殊到一般的思想，感受数学思想和
数学文化的深刻内涵（数学建模、数据分析、数学抽象）
用定义判断已知数列是否为等差数列（数学运算）
探索等差数列的通项公式，会用观察归纳法，迭代法，累加法证明通项公式，体
会数学发现，再创造的历程（逻辑推理、数学运算）
（4）能用函数的观点分析观点分析等差数列和一次函数的关系，能用一次函数的知识
来认识等差数列的性质（直观想象、逻辑推理）
学生学情分析
学习者是高中二年级第一学期的学生．通过初高中的学习和平时生活经验的积累，对“等差数列”的内容已有一定的生活经验和认知基础，但是对于把生活问题数学化，用抽象的数学符号语言来准确地描述，还有一定的难度．
教学策略分析
《等差数列》这节内容是培养学生观察问题，启发学生思考问题的好素材．教材重视从通过鞋号、队列、温度等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力．同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系．因此确定本节课的教学重点是等差数列的概念和等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义．基于上述理解，故设计了以“问题”为主线的“创设情景－提出问题－解决问题－再提出问题”的教学模式．
5、教学过程
指出数列是特殊的函数，函数的表示方法有列表法，图像法，解析法.
Ⅰ．定义
（1）创设情境——引入概念：
情景1：阿迪达斯女运动鞋中国码依次拿出来形成数列：
220,225,230,235,240,245,250,255,260
情景2：学校每年举行“红五月合唱”比赛，班级的队列怎么拍更具美观！其中一个合唱排列：9,10,11,12
情景3：生活感受山上会变冷，提供某座山高度与温度的关系表，其中温度拿出来形成一个数列：28,21.5,15,8.5,2,-4.5,-11,-17.5,-24
创设生活题情景，渗透数学源于生活，用于生活．
　 在概念教学时，从概念产生和发展的过程中为学生提供思维情境，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象．因为数学知识的学习过程是一种包含猜测、证明与反驳、的复杂过程，所以数学课堂教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程．
观察归纳——形成概念：
观察生活情景中提出的三个数列：
1、220,225,230,235,240,245,250,255,260
2、9,10,11,12
3、28,21.5,15,8.5,2,-4.5,-11,-17.5,-24
问题一：数列1,2,3中项与项之间的关系是什么?对于一般数列项与项应满足怎样的条件？
让学生对这个数列取名，并引出课题.
问题二:能用文字语言准确的描述这些数列的共同特征？
从具体实例出发寻找到具体数与数的关系，并从中抽象出等差数列的符号表示．从具体到抽象，符合学生的理解过程，实现概念教学.
要求学生在不看课本的前提下总结等差数列的定义，学生对于符号语言基本都能准确拿出来，可能对于容易忽略.学生可能会下“后一项与前一项的差等于常数”、的等差数列的定义，尽管总结的语言很可能不严密、不流畅但我们不需要否定学生，让学生经历定义的逐步完善，加强知识记忆的牢固性，培养学生的能力.
实际生活中这样的数列例子很多，让学生举例．例如：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码；衬衫尺寸；堆垛等；古代数学中也有大量的等差数列的研究：在我国出土的春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置；成书于公元前二世纪的《周髀算经》上有“七衡图”，还有《九章算术》，《张丘健算经》，《孙子算经》等这些都记载着对等差数列的大量研究，被誉为“数字推理的第一思维”．
数学源于生活．加深对数列的感性认识．数学史是人类文化的重要组成部分，贯穿数学文化的发展历程．有意识地融入数学史的教学，利用它激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁．
定义：1、文字语言:一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．
2、数学符号语言：
（为常数，且）．
对定义进行分析，强调：
ⅰ．从第２项起；
ⅱ．相邻两项的差，且后一项减去前一项；（防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数、负数、也可以是零）
ⅲ．差为同一个常数；
ⅳ．且，对所有的ｎ都成立，无一例外．
变式训练——巩固概念：
　　练习：判断下列数列是否是等差数列？若是，则公差是多少？若不是，请说明理由.
0,2,4,6,8,┄
7,4,1,-2
2,2,2,2,┄
15,12,8,4,0
0,1,0,1,0,1
明确用定义判断数列是否是等差数列，特别指出“每一项”，“后一项减前一项”.引导学生发现公差对数列的影响，从单调性来看：当时，数列是递增数列，当时，数列是递减数列，当时，数列是常数列．
　　通过变式训练，巩固概念．注意对数列概念严谨性的分析.
Ⅱ．通项公式
（1）讨论研究——通项探究：
问题四：求数列7,4,1，-2，┄的第20项？一般的等差数列的通项公式是？
第20项可以利用等差数列的定义一一列举出来，类比函数表示中的数列表格法，函数表示还有解析法和图像法，解析法即数列的通项公式，是数列的灵魂，如果有了通项公式，很多问题就容易解决了，并把问题推广到一般情况．[Z.xx
问题五：已知等差数列的首项是，公差是，是多少？又是多少（用首项及公差表示）？
方法1：
时，
时，
时，
…
　　　　　
时，也成立．
（归纳，猜想．培养学生的合情推理的能力）
方法2：




方法3：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　…
　　　　
用叠加，得，时，也成立．
整理，得：　　
在学生讨论探索的基础上，点评小结：
方法1的通项公式是由……归纳得到的，归纳得出的公式对是否成立需要补充说明．
这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，其结果不一定正确，还需证明的，这里证明省略．观察归纳法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法．
方法2是迭代法.
方法3叫累加法．
说明：等差数列的通项公式：（）
明确是等差数列的基本量，已知一个等差数列的首项和公差，可以确定这个数列中的任何一项.
公式中一共有四个量，其中与是基本量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一．
公式记忆：等差数列的第项是其首项与公差的倍之和．
数学教师要不要培养学生的记忆能力？这是有争议的．我认为，数学教师有可能、也有必要培养学生的记忆能力．
(2)巩固深化—简单应用：
例1：（1）求等差数列中的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列的项？如果是，是第几项，如果不是，
说明理由.
变式：《九章算术?均输章》——等差数列问题
今有金箠(chui)，长五尺。斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何。
引导学生关注四个量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一，加深通项公式的印象．变式是呼应数学史，激发学生的学习兴趣.
例2：等差数列中，，，求．
　解：由题意可知
解方程组，得
即这个等差数列的首项是2，公差是；通项公式为．
加深对数列基本量的理解，本解法采用待定系数法，通过解方程（组），求出首项和公差．方程思想，是数学中常用的解题思想方法．
(3)挖掘整理—函数特征：
在数列的通项公式中，任取一个，都有唯一一个与之对应，联系映射的思想，挖掘数列的函数特征．
问题五：数列的通项公式的实质是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，那么，等差数列的图像是什么？
举例特殊的等差数列的图像，从特殊到一般，体会知识的形成.
结论：用图象表示时，从图上看，表示这个数列的各点均匀排列在直线上.
直线的函数解析式是，则.引出例3
例3：已知数列的通项公式是 （为常数），那么这个数列为等差数
列吗？
等差数列的通项公式可以表示成．
从通项公式看：()
　　结论：当即公差时，它是关于的一次函数，当即公差时，它是常数函数．
　　在讲等差数列的概念时，凸现它与一次函数的联系，便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，这与以前学过的什么内容类似，引发学生联想，归纳，学生自然会想到一次函数，并告诉学生这不是新的知识，而是函数旧知识的延伸和拓展．
III.总结反思
用三种数学语言表述等差数列的概念；(一个定义，二个公式）
首项是，公差是的等差数列的通项公式为（），在这四个量中可知三求一，体现方程思想；（一个思想）